Приглашаем посетить сайт
ВЕРОЯТНОСТЬ
ВЕРОЯТНОСТЬ - величина, характеризующая "степень возможности" нек-рого события, к-рое может как произойти, так и не произойти. Так, напр., выражение типа "весьма вероятно, что в ближайшие 10 лет люди высадятся на Луне" означает, что говорящий высоко оценивает степень возможности указанного события. Здесь В. выступает как мера субъективной уверенности, определяемой имеющейся в распоряжении данного человека информацией (или, наоборот, отсутствием сведений о каких-то обстоятельствах, существенно влияющих на наступление или ненаступление данного события), а также психологич. особенностями человека, играющими важную роль при оценке им степени правдоподобия того или иного события. Именно такой смысл чаще всего имеют выражения "очень вероятно", "мало вероятно", "невероятно", встречающиеся в обыденной речи. Субъективный характер подобных высказываний очень затрудняет количественную оценку величины В. в этих случаях и делает невозможным построение на базе такого понятия В. строгой науч. теории, помогающей понять объективно существующие закономерности (подробнее об имеющихся в этом направлений попытках см. Вероятностная логика).
Иной характер имеет понятие математич. В., являющейся объективной характеристикой степени возможности появления определенного события в каких-то заранее заданных условиях, к-рые могут повторяться неограниченное число раз. Последнее обстоятельство - возможность многократного воспроизведения одних и тех же условий, допускающих осуществление события - существенно ограничивает круг явлений, к к-рым применимо понятие математич. В.; оно приводит к тому, что плодотворно это понятие может применяться лишь к м а с с о в ы м явлениям, случающимся очень много раз. Примерами подобных массовых явлений могут служить: рождение ребенка определенного пола, появление какой-то определенной буквы в обширном тексте, выпадение дождя, появление дефектного изделия в любой массовой продукции и т.д. Большая роль понятия В. в физике и естествознании тесно связана с местом, к-рое занимает здесь изучение таких обширных множеств сравнительно однородных объектов, как совокупность молекул (или атомов) нек-рого тела, совокупность звезд в данном скоплении (галактике) или совокупность галактик во Вселенной, совокупность особей определенного биологич. вида или совокупность клеток нек-рого организма.
Понятие математич. В. является объективной характеристикой связи данного события с данными определенными условиями; поэтому не имеет смысла говорить о В. данного события вообще, а лишь о В. данного события в данных условиях. При этом далеко не всегда событие, связанное с нек-рыми допускающими многократное воспроизведение условиями, имеет определенную В.; так, напр., нельзя говорить о В. возникновения войны в определенном районе мира в течение одного (безразлично какого) года. Дело в том, что условия, делающие возможным возникновение рассматриваемого события, не должны быть слишком широкими - они должны обеспечивать определенную однородность опытов (испытаний, наблюдений), заключающихся в регистрации выполнения или невыполнения интересующего нас события (такой однородностью, очевидно, не обладают данные многолетних наблюдений за взаимоотношениями нек-рой группы стран, определяющими мирные или военные условия в данном районе). Т. о., предположение о существовании В. выделяет некоторый класс событий, весьма широкий и включающий большое число практически важных примеров, но вовсе не всеобъемлющий. При этом содержательным понятие В. является лишь в тех случаях, когда условия, о к-рых шла речь выше, не являются также и слишком узкими - такими, что наступление или ненаступление события определяется ими однозначно. Правда, чисто формально В. можно определить и тогда, когда фиксированные условия делают событие неизбежным или же полностью исключают его (в первом из этих случаев В. события следует считать равной единице, а во втором - равной нулю); однако в таких случаях наличие указанной В. является просто синонимом существования жесткой причинной связи условий с событием (условия - причина, событие - следствие), делающей наступление (или ненаступление) события в данных условиях н е о б х о д и м ы м (иначе это выражают, говоря, что имеет место динамическая закономерность наступления или ненаступления события в данных условиях). Если же наступление или ненаступление события не определяется заданными условиями однозначно, то событие наз. с л у ч а й н ы м; т.о., понятие В. является содержательным лишь в применении к случайным событиям.
Осн. признаком существования В. какого-либо события в тех или иных условиях является следующий факт: при многократном воспроизведении указанных условий частота осуществления данного события (т.е. отношение числа случаев, в к-рых событие наступило, к общему числу всех наблюдений) обладает известной устойчивостью, т.е. имеет тенденцию группироваться около нек-рого определенного числа p, лишь в крайне редких случаях отклоняясь от него сколько-нибудь значительно. Это число p и принимают в таком случае за численное значение В.: оно, естественно, характеризует "степень возможности" события. Наличие количеств. меры В. позволяет сравнивать возможности наступления различных событий и на этой базе построить содержательную математич. теорию вероятностей.
Закономерности, заключающиеся в том, что нек-рые события при тех или иных заданных условиях имеют В., наз. с т а т и с т и ч е с к и м и з а к о н о м е р н о с т я м и. Такие закономерности представляют собой своеобразную форму проявления причинной связи события с предшествующими ему условиями, более гибкую, чем та, которая приводит к возникновению динамич. закономерностей. При этом, однако, надо иметь в виду, что наложение очень большого числа случайных обстоятельств, порождающих статистич. закономерности, в очень многих случаях приводит к результатам, практически не зависящим от случая, т.е. к закономерностям динамич. типа (точная математич. формулировка условий, при к-рых такое явление имеет место, составляет содержание закона больших чисел теории В.). Этот факт имеет очень большое значение: исходя из него, совр. наука раскрыла статистич. характер многих законов, представлявшихся раньше чисто динамическими (достаточно указать на объяснение динамич. законов классич. термодинамики в рамках статистич. механики Больцмана - Гиббса и на получение классич. механики в качестве предельного случая более точной квантовой механики, в к-рой осн. роль играет понятие В.). Также и в др. разделах совр. естествознания (напр., в химии или биологии) понятие В. и статистические закономерности играют очень большую (и все возрастающую) роль. При всем том было бы неправильно считать, что статистич. закономерности представляют собой осн. форму причинной связи в объективном мире; точнее было бы говорить о диалектич. единстве динамич. и статистич. закономерностей, проявляющемся в том, что динамич. закономерности во многих случаях возникают в результате наложения большого числа закономерностей статистич. типа, а статистич. закономерности, присущие массовым явлениям, зачастую имеют своей первопричиной определенные динамич. закономерности, управляющие единичными явлениями (ср. также Единство и борьба противоположностей, Необходимость и случайность).
Связь понятия В. с частотой осуществления случайного события в длинной серии наблюдений иногда кладется в основу определения В. Наиболее последовательно эту т. зр. проводил нем. математик Р. Мизес, согласно к-рому В. случайного события А определяется как предел, к к-рому стремится частота осуществления А при неограниченном увеличении длины серии проводимых наблюдений. Однако подобное определение следует считать философски несостоятельным, поскольку В. здесь оказывается не объективной характеристикой самого события, а лишь величиной, описывающей результат наших наблюдений над ним - точка зрения, близкая к субъективно-идеалистич. концепции Э. Маха. Математически это определение, апеллирующее к недостаточно четкому понятию предела последовательности, члены к-рой определяются случаем, также мало удовлетворительно. На самом деле следует считать, что определенные классы событий, рассматриваемых при нек-рых строго фиксированных условиях, обладают В. безотносительно к тому, производятся ли над ними к.-л. наблюдения или нет; частота же осуществления события в длинной серии наблюдений может служить для приближенной оценки численной величины В., причем точность (и надежность) этой оценки оказывается тем большей, чем больше производится наблюдений.
Наличие лишь приближенного метода определения величины В., к тому же требующего производства большого числа экспериментов, сильно затрудняет использование этого понятия. Поэтому весьма важным является вопрос о том, нельзя ли хоть в нек-рых случаях точно определить величину В., по возможности не производя длинной серии испытаний. Оказывается, что существует определенный класс случайных явлений, для к-рых это можно сделать, исходя из соображений симметрии. Рассмотрим, напр., опыт, состоящий в подкидывании монеты; случайными событиями, связанными с этим опытом, являются выпадение герба или цифры. Но ясно, что обе стороны монеты (если только она не погнута) не различаются физич. свойствами, могущими играть роль в этом опыте; поэтому В. выпадения той и другой стороны монеты будут одинаковыми, т.е. будут равны ½. Аналогично обстоит дело при бросании правильной (т.е. имеющей точно форму куба и сделанной из однородного материала) кости, при вытаскивании наугад карты из колоды и в ряде др. случаев. В этих случаях В. можно подсчитывать без всяких экспериментов с помощью следующего правила (носящего название "классического определения В."): п р и общем числе равноправных исходов опыта, равном n, вероятность нек-рого события A, определяемого исходом опыта, равна отношению m/n, где m - число исходов, благоприятствующих этому событию. Так, напр., В. того, что карта, вытянутая наудачу из тщательно перемешанной колоды в 36 карт, окажется тузом, равна 4/36 = 1/9. Тот факт, что фигурирующее в классич. определении В. понятие равноправных исходов опыта имеет объективный характер, а не характеризует лишь субъективную уверенность в равноценности этих исходов, подтверждается тем обстоятельством, что во многих случаях подобную равноправность можно строго обосновать, исходя из физич. законов с помощью т. наз. метода произвольных функций. Так, напр., если мы воспользуемся ур-ниями механики, то сможем (во всяком случае в принципе) подсчитать, на какую сторону упадет монета при тех или иных начальных условиях. При этом окажется, что если рассматривать подкидывание монеты на достаточно большую высоту, то подсчитанные таким образом В. выпадения герба и цифры при очень широких предположениях о В. начальных условий (отсюда идет и название метода) будут одинаковыми - равными 1/2 (заметим, впрочем, что подобные подсчеты доведены до конца пока лишь для неск. частных задач). Этот метод произвольных функций весьма отчетливо выявляет физич. характер используемых при подсчетах В. свойств симметрии.
При всей важности классич. определения В. оно лишь в редких случаях оказывается применимым в задачах, возникающих в естествознании и технике. Иногда здесь удается помочь, распространив понятие равноправных исходов на нек-рые классы случайных событий, имеющих непрерывное множество возможных исходов (т.н. задачи на вычисление геометрической В.). Очень часто, однако, на практике приходится ограничиваться приближенной оценкой В., получаемой из ряда испытаний. При этом может показаться, что в таких случаях практические применения понятия В. должны быть весьма ограниченными из-за необходимости обработки очень большого статистич. материала для получения любого числового значения В. В действительности, однако, дело обстоит не совсем так. На помощь здесь приходит математич. теория В., позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить В. других случайных событий, каким-либо образом связанных с первыми (значительную роль при этом играют также дополнительные, физически обоснованные гипотезы о связи событий - напр., предположения о независимости). Поэтому на практике лишь В. нек-рых осн. событий надо определять непосредственно; все остальные В. уже чисто логич. путем выводятся из основных.
Надо еще только иметь в виду, что практич. использование статистич. закономерностей, проявляющихся в существовании В., является заметно более сложным, чем использование закономерностей динамич. типа. Исключением являются лишь случаи, когда нек-рое событие имеет В., очень близкую к единице (или, наоборот, очень близкую к нулю), т.е. является практически достоверным (или практически невозможным). Применение статистич. закономерностей в практич. деятельности человека в значит. степени идет по линии выявления такого рода событий. Именно поэтому в теории В. очень большую роль играют предложения, позволяющие утверждать, что В. наступления того или иного случайного события А при определенных условиях будет очень близка к единице или нулю (упоминавшийся уже выше закон больших чисел и др. предельные теоремы теории В., относящиеся к случайным событиям, связанным с большим числом различных случайных факторов).
Другим важным разделом теории В., получившим особое развитие в самое последнее время, является т. наз. теория случайных процессов, изучающая эволюцию во времени физич. и иных систем, находящихся под воздействием (постоянным или проявляющимся в отд. моменты времени) нек-рых случайных факторов. Примерами таких случайных процессов могут служить: процесс броуновского движения частиц, взвешенных в жидкости, турбулентное движение жидкости или газа, работа телефонной станции, связанная со случайными вызовами абонентов, работа атомного реактора, определяемая беспорядочно возникающими в нем ядерными реакциями и мн. др. Совр. наука выявила важные общие закономерности, относящиеся к процессам такого рода, и создала нек-рые общие методы, позволяющие их изучать и в известной степени управлять их ходом.
Заметим, что для математич. теории В. вопрос о том, как именно были определены В. осн. событий, не играет роли. Содержание этой теории составляет совокупность правил, позволяющих по осн. В. находить В. др. событий, зависящих от основных, подобно тому, как предмет геометрии состоит из ряда правил, позволяющих вычислять нек-рые расстояния, углы, площади и т.д. по другим, исходным расстояниям или углам, предполагающимся известными (напр., длину гипотенузы прямоугольного треугольника по известным длинам двух его катетов). В основу теории В. (как и в основу геометрии) можно положить определенную систему аксиом, указывающих основные правила составления В. сложных событий, к-рые уже не могут быть "доказаны", т.е. выведены из других, более простых, правил (см. Аксиома). При этом существенными оказываются определенные "действия" над событиями, позволяющие переходить от одних событий к другим. Введение таких действий превращает множество событий в алгебраич. систему, к-рая оказывается совпадающей с булевской алгеброй (см. Алгебра логики), где булевским произведением двух событий А и В является событие "и А и В", а булевской суммой тех же событий - событие "или А или В". Здесь В. - число p (А), сопоставляемое элементам булевской алгебры (событиям) А; это число обладает следующими свойствами:
0 ≤ P (А) ≤ 1; P (1) = 1, P (0) = 0;
если A ⊂ B, то P (А) ≤ P (В); если AB = 0, то P (А + В) = P (А) + P (В).
Булевская алгебра, элементам к-рой приписывается число P (А), обладающее такими свойствами, наз. нормированной, а число P (А) - нормой элемента А (простейшим примером такой нормированной булевской алгебры является классич. алгебра логики, в к-рой положено P (И) = 1, P (Л) = 0). Исходя отсюда, можно сказать, что т е о р и я В. изучает совокупности объектов, образующие нормированную булевскую алгебру; эти объекты наз. событиями, а норма P (А) события А наз. его В. Утверждение, выделенное разрядкой, уже содержит в себе простейшее аксиоматич. построение теории В. (предложенное в 1917 сов. математиком С. Н. Бернштейном), превращающее эту теорию в раздел чистой математики.
В наст. время большое значение имеет др. вариант аксиоматич. построения теории В., в к-ром исходными объектами являются не все события, а только т. наз. элементарные события, из к-рых все события образуются по законам теории множеств (см. Множеств теория). В. здесь рассматриваются как определенная мера подмножеств множества всех элементарных событий; тем самым теория вероятностей сводится к теории меры, представляющей собой хорошо разработанный раздел общей теории множеств. Аксиомами в этом случае являются требования, чтобы В. обладала всеми свойствами меры. Такое аксиоматич. построение теории В. (предложенное в 1929 сов. математиком А. Н. Колмогоровым) принято сейчас в подавляющем большинстве изложений этой теории.
Зарождение математич. учения о В. относится к 17 в. и связано, в первую очередь, с именами франц. математиков П. Ферма и Б. Паскаля и голл. математика Х. Гюйгенса, исследовавших значит. число вопросов, связанных с азартными играми в кости и карты. В 18 в. и нач. 19 в. швейцарским математиком Я. Бернулли и франц. математиками А. Муавром, П. Лапласом и С. Пуассоном были доказаны простейшие формы закона больших чисел и предельных теорем теории В.; в работах этих ученых получило свою окончат. форму также и классич. определение В., о к-ром говорилось выше. Первые значит. достижения в практич. применениях теории В. принадлежат нем. математику К. Ф. Гауссу. Во 2-й пол. 19 в. и нач. 20 в. осн. центром развития теории В. становится Россия, где в это время работали П. Л. Чебышев и его ученики А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В послереволюц. время СССР сохранил ведущее положение в развитии теории В., в первую очередь благодаря трудам С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и их учеников. Годы второй мировой войны и послевоен. годы характеризуются бурным ростом исследований по теории В. в большинстве стран мира. В этот период на базе теории В. развились новые науч. направления, имеющие очень большое практич. значение (см. Информация, Операции).
Лит.: Марков Α. Α., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 2 изд., М.-Л., 1954; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее положения, пер. с англ., М., 1952; Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, пер. с нем., М.-Л., 1936; Mизес Р., Вероятность и статистика, пер. с нем., М.-Л., 1930; Борель Э., Случай, пер. с франц., М., 1923; Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика, ее содержание, методы и значение, т. 2, М., 1956; Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., М.-Л., 1952; Яглом А. М., Яглом И. М., Вероятность и информация, М., 1957; Хинчин А. Я., Метод произвольных функций и борьба против идеализма в теории вероятностей, в кн.: Философские вопросы современной физики, М., 1952; Монин А. С., О двух формах выражения причинности, "Вопр. философии", 1959, No 4; Смирнов Л. В., Категория вероятности, там же, 1958, No 12.
А. Яглом. Москва.