Приглашаем посетить сайт
ОПРЕДЕЛИМОСТЬ
ОПРЕДЕЛИМОСТЬ - одно из осн. понятий методологии дедуктивных наук, связанное с особенностями и возможностями формализации. Различают обычно-синтаксическое (см. Синтаксис в логике) и семантическое (см. Семантика в логике) понятия О. Первое равносильно возможности (формального, синтаксического) определения одних исходных терминов (термов, знаков операций, предикатов и т.п.) к.-л. формализованной аксиоматич. теории через другие исходные термины той же теории, т.е. означает их взаимную зависимость (или же - в случае невозможности такого определения - взаимную независимость). [Т.о., связь терминов с т. зр. их взаимной (синтаксической) О. подобна связи между высказываниями с т. зр. их взаимной выводимости - в обоих случаях в рамках нек-рой данной формализации.] В случае я в н ы х определений синтаксич. О. к.-л. термина данной теории выражается посредством формулы (предложения), в ы в о д и м о й в данной теории (являющейся ее формальной теоремой) и имеющей вид эквивалентности, в к-рой по одну сторону знака эквиваленции записывается определяемый термин (definiendum) или выражение, содержащее этот термин, а по др. сторону - выражение этой же теории, определяющее (заменяющее) этот термин и не содержащее его (definiens). Если же речь идет о др. видах определений, то для строгой формулировки синтаксич. О. следует, конечно, оговорить допустимые для данной теории виды определений и определяющих схем; это относится, напр., к т.н. схемам рекурсии, используемым при рекурсивных определениях (см. в ст. Определение раздел Рекурсивные и индуктивные определения). [Такие уточнения обычно формулируются в терминах синонимов синтаксич. О. таких, напр., как введенное К. Гёделем понятие изобразимости в нек-рой формальной системе, или понятие т.н. λ-Ο. (А. Чёрч), являющихся при соответств. уточнениях эквивалентами понятия общей рекурсивности - см. Рекурсивные функции и предикаты.]
Семантическая О. означает "выразимость" (причем именно этот термин во мн. конкретных теориях употребляется в качестве синонима или замены термина "семантич. О.") средствами данной формальной теории тех предметов (в том числе и абстрактных: множеств, отношений, свойств и т.п.), к-рые с помощью этой теории изучаются (др. словами семантич. О. свидетельствует о существовании "языковой модели" для этих предметов). Напр., говорят, что-n-местное отношение R определимо в данной формальной теории Т, если на языке Τ можно записать такой n-местный предикат φ(x1 ..., xn) со свободными переменными x1, ..., xn, к-рый для произвольных предметов (термов) α1.., αn, взятых в нек-ром (произвольном) порядке, выполняется тогда и только тогда, когда между α1, ..., αn, взятыми в том же порядке, имеет место отношение R. Аналогично можно говорить об О. свойств и множеств (рассматриваемых как одноместные предикаты). Понятие семантич. О., введенное А. Тарским (1931) и обобщенное впоследствии А. Мостовским и самим Тарским, играет важную роль в семантике. Особенно плодотворным оказалось оно при выяснении возможностей определения предиката истинности (см. Логическая истинность) для конкретных формальных систем. Осн. результатом в этой области служит теорема Тарского об истинности, согласно к-рой для широкого класса непротиворечивых формальных систем (во всяком случае включающего формальную арифметику и аксиоматич. теорию множеств и вообще все теории, удовлетворяющие условиям теоремы К. Гёделя о неполноте - см. Полнота дедуктивная, Метатеория) понятие истинности предложения такой теории, так же как и множество всех ее истинных предложений, неопределимо в самой этой теории. Теорема эта, играющая важную роль в исследовании вопроса о взаимной силе (и относительной непротиворечивости) формальных систем, является следствием доказанной также Тарским теоремы о неопределимости, дающей общий метод построения широкого класса неопределимых выражений.
Ю. Гастев, М. Новоселов. Москва.