Приглашаем посетить сайт
НЕЗАВИСИМОСТЬ
НЕЗАВИСИМОСТЬ (в логике и м а т е м а т и к е) - св-во предложения нек-рой теории (или формулы нек-рой формальной системы), заключающееся в том, что ни само это предложение (соответственно формула), ни его (ее) отрицание логически не выводятся (по правилам вывода формальной системы) из данной системы предложений (конъюнкции данных формул); когда рассматриваемое предложение (или формула) является аксиомой данной теории, говорят о Н. (в только что определенном смысле) этой аксиомы от остальных аксиом теории. Н. к.-л. предложения (или формулы) относительно данной системы аксиом (безразлично - содержательно понимаемых предложений или же формул исчисления; ниже термин "аксиома" можно всюду понимать в любом из этих смыслов) может быть доказана путем установления непротиворечивости каждой из двух систем аксиом, одна из к-рых получается присоединением к данной системе аксиом рассматриваемой аксиомы, а другая - прибавлением к данной системе отрицания рассматриваемой аксиомы (система аксиом, относительно к-рой рассматривается вопрос о Н., как правило, предполагается непротиворечивой, поскольку в противном случае из нее можно было бы вывести любое предложение данной теории). С Н. связано и др. важное свойство аксиоматич. систем - полнота: если (непротиворечивая) система аксиом (дедуктивно) полна, то присоединение к ней любой независимой от нее формулы (той же формальной системы) в качестве аксиомы делает систему противоречивой; любая же формула, присоединение к-рой к аксиомам полной системы сохраняет непротиворечивость последней, может быть выведена из совокупности данных аксиом (зависит от них). Термин "Н." часто употребляется и по отношению к нек-рой совокупности (системе) предложений (формул): совокупность наз. независимой (или н е и з б ы т о ч н о й), если каждый ее элемент независим от с о в о к у п н о с т и остальных (в определенном выше смысле). В отличие от непротиворечивости и полноты, Н. не имеет принципиального значения для формально-аксиоматич. (и тем более содержательно-аксиоматич.) теорий; требование Н. есть проявление естеств. стремления к тому, чтобы не использовать в качестве исходных предложений такие, к-рые могут быть выведены из др. аксиом теории. Однако исследования, касающиеся Н. к.-л. системы аксиом или отд. ее предложений, играют часто важную методологич. роль; попытки решения мн. математич. и логич. проблем оказались обреченными на неудачу из-за Н. искомого предложения от остальных постулатов теории. Классич. примером такой проблемы служит 5-й постулат Эвклида о параллельных, предположение о Н. к-рого от остальных эвклидовых аксиом (а затем и доказательство этой Н.) привело к открытию неэвклидовой геометрии. Ряд важных результатов о Н. получен в математической логике. Термин "Н." употребляется в логике (и математике) и для характеристики отношения между различными понятиями (термами, операциями, логич. связками, функциями и пр.): понятие наз. независимым от данной системы понятий, если его нельзя определить (выразить) в терминах этой системы понятий (не привлекая дополнит. понятий). Разумеется, о Н. в этом смысле можно говорить лишь в рамках фиксированной системы правил определения (образования) понятий (к к-рым, вообще говоря, также применимо понятие Н.), подобно тому как Н. в первом смысле всегда предполагает фиксацию системы правил вывода (доказательства) предложений, причем для самих правил вывода в свою очередь встает проблема Н. Аналогичным образом можно говорить о Н. системы понятий.
Лит. см. при ст. Метод аксиоматический.
Ю. Гастев. Москва.