Приглашаем посетить сайт
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОСВЕННОЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КОСВЕННОЕ (непрямое доказательство) -доказательство "от противоречащего случая", такая форма логической аргументации, при которой явно используются дедуктивные свойства противоречия. Обычно выделяют две формы косвенного доказательства - разделительную и апагогическую.
В разделительной форме исходной посылкой служит дизъюнкция суждений, о которой известно, что она истинна и Образует полную систему гипотез (альтернатив), а тезисом доказательства (тем, чтотребуется доказать) объявляется (по крайней мере) одна из гипотез этой дизъюнкции. Т. о., особенность разделительного косвенного доказательства-в исключении (как ложных) всех гипотез главной посылки, кроме тезиса. Такое исключение проводится многократным применением правила (modus tollend ponens), разрешающего утверждать (принимать) в качестве истинной одну гипотезу, если отрицается другая; "А или В, не-А, следовательно, В". При этом право на исключение альтернатив (членов дизъюнкции) обосновывается отдельно, что и составляет косвенный пункт доказательства. Если же тезис заранее не указан, он выявляется в ходе последовательного проведения всех косвенных пунктов доказательства.
В апагогической 'форме (в отличие от разделительной) доказательство начинается с предположения о ложности тезиса и с принятия в качестве одной из посылок доказательства антитезиса-суждения, противоречащего тому, что требуется доказать (противоречащего тезису доказательства). Это первый шаг апагогического косвенного доказательства, называемого поэтому доказательством "от противного". Все последующие шаги состоят в разыскании таких следствий первого шага, которые указывали бы так или иначе на необходимость отбросить исходную гипотезу о ложности тезиса, дав т. о. известное основание его истинности. А это возможно, если только удастся опровергнуть антитезис. Напр., показать несовместимость антитезиса с каким-нибудь заведомо истинным суждением или привести антитезис к абсолютному противоречию типа абсурда (отсюда такой вариант доказательства от противного как reductio ad absurdum).
Первые неявные примеры апагогических косвенных доказательств восходят к ранней античности. Таковы, в частности, "уличающие опровержения" Зенона Элейского, его апории, соответствующие одному из логических законов, а именно Αο((Α3-ιΑ)3-ιΑ). Аристотель уже явно формулирует идею апагогического косвенного доказательства как доказательства "посредством приведения к невозможному" (reductio ad impossible), добавляя, что "при приведении к невозможному противоположное суждение есть истина не заранее признанная, а условно взятая" (Аристотель. Аналитики. 61а 19-61Ь 4. M., 1952, с. 142). Однако он не указывает, на какие логические законы опирается апагогическое косвенное доказательство. Между тем уточнение этих законов и их семантики привело к разделению апагогических косвенных форм на "различные степени косвенности" и к размежеванию современной логики на классическую, допускающую свободное использование всех форм косвенного доказательства, и интуиционистскую (конструктивную) логику, допускающую, вообще говоря, только одну его форму-доказательство отрицательных суждений (тезисов) через построение, приводящее к абсурду гипотезу об истинности противоречащей им посылки. Т. о., приведенный выше закон Зенона соответствует интуиционистской установке и принимается, а его ("симметричная") форма-т. н. "тонкое следование" (consequentia mirabilis), восходящее к "Началам" (кн. IX, теорема 12) Евклида,-этой установке не соответствует и отвергается. Размежевание в подходах к законности некоторых форм косвенного доказательства связано с интуиционистским отказом от использования положительной и отрицательной манеры утверждения как равноправных. Это равноправие выражается, в частности, в свободном использовании закона снятия двойного отрицания (duplex negati affirmât), вообще говоря, неприемлемого (равно как и дедуктивно связанного с ним закона исключенного третьего) в силу неэффективности (неконструктивности) в ситуаци
ях, когда мысль выходит за пределы финитных возможностей опыта, и вопрос об истинности или ложности суждений решается не прямой опытной проверкой, а некоторым трансфинитным рассуждением. В результате оба этих закона (несмотря на их простоту и широкое использование в математике, начиная с Евклида) и соответственно формы апагогического косвенного доказательства, от них зависящие, в интуиционистской логике отвергаются. А в отсутствии этих законов косвенно доказываются только отрицательные тезисы, поскольку интуиционистски верная импликация -i-i-iAs-iA независима от них. По существу именно этого рода дедукции, формально представимые, к примеру, такой формой закона приведения к абсурду (к противоречию), как (Аэ В) э ((А=>->В) =>-.А), являются единственным (не считая прямого определения) логическим путем введения отрицания в интуиционистских теориях, что указывает на важность этой формы косвенного доказательства для этих теорий. Из других интуиционистски приемлемых форм можно указать на контрапозицию (A=>B)s(-iB3-iA), (Аэ-1В)э(Вэ-^А) и Вз((Аэ-.В)э-1А), а из приемлемых еще и классически - закон обратной контрапозиции ( -ι В э -ι А) э (А => В) : предположив истинным А и ложным В, из отрицания В выводим отрицание А, чем от противного и доказываем истинность импликации (АзВ).
Очевидно, что как duplex negatio, так и tertium non datur выражают онтологический аспект отрицания, его трансцендентный характер. Отказ от этих принципов, естественно, приводит к неонтологической концепции отрицания и вводит понятие отрицания в контекст гносеологических обсуждений, затрагивая проблемы философского характера. Вот почему в научном мышлении прямые доказательства ценятся выше косвенных. Однако доказуемое косвенно не всегда доказуемо прямым способом. В этом смысле косвенные доказательства сильнее прямых. Они широко используются как в повседневном, так и в научном мышлении в той мере, в какой стратегия поиска доказательства оправдывается принятой логикой рассуждений.
Лит.: Асмус В. Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М., 1954, гл. 5; Гейтинг А. Интуиционизм. М., 1965; Клини С. К. Математическая логика. М., 1973; Luwenheim L. On Making Indirect Proofs Direct.-"Scripta Math.", 1946, 12; Goodstein R. L. Proof by reductio ad absurdum.-"Math. Gazette", 1948, 32; Beth E. W. bservation au sujet du raisonnement indirect.-"Logique et Analyse" 1960.N 11-12.
M. M. Новосёлов