Приглашаем посетить сайт
ОТНОШЕНИЕ
ОТНОШЕНИЕ - связь между некоторой сущностью и тем, что с ней соотнесено. Считается, что категорию отношения в философию ввел Аристотель (Аристотель. Соч., т. 2. M., 1978, с. 66), писавший, что нечто "есть то, что оно есть", лишь "в связи с другим или находясь в каком-то ином отношении к другому". Для соотнесенного существовать - значит находиться в каком-либо отношении к другому. По Аристотелю, сущность есть условие возможности отношений. Подразумевается, что всякое отношение соотносит сущности определенных видов (или сортов, как принято говорить в прикладной логике). Однако еще до Аристотеля понятие отношения фактически рассматривалось другими эллинскими мыслителями, в частности Платоном. Для последнего отношение есть связь между идеями, благодаря к-рой они становятся доступными познанию. От Платона и Аристотеля идет комплекс проблем, связанных с бытием отношений: является ли отношение столь же реальным, что и объекты, в этом отношении находящиеся. Различные философские школы давали на этот вопрос разные ответы. Естественно считать, что отношения между вещами столь же реальны, как и сами вещи, - в том смысле, что нет вещей вне каких-либо отношений и нет отношений, которые не связывали бы какие-либо вещи (явления, события, процессы и т. п.).
В современной логике отношения рассматриваются как многоместные (многочленные) предикаты - в отличие от свойств как одноместных предикатов. Различают двухместные (бинарные). трехместные (тернарные) и вообще п-арные отношения. Уточнение категории "отношение" возможно на различных уровнях абстракции и путем различных процедур формализации. Простейший подход - теоретико-множественный, когда отношение понимается как упорядоченное множество пар (для бинарного отношения), троек (для тернарного отношения), вообще п-ок предметов. Если задан упорядоченный набор (кортеж) < Х|, x-i_,..., х„ >, где х, (i = 1, 2,..., η) - переменные из нек-рой предметной области или областей (из множества или множеств, на которых определены соответствующие переменные), то говорят, чтомежду предметами, представляемыми данными переменными, существует отношение R, и записывают это как R (х,, х^, ..., х,,}; при n = 2 - это бинарное отношение, обычно представляемое формулой Χι ΛΑ ?, - наиболее простой и вместе с тем весьма важный случай отношения, иллюстрируемый, напр., равенствами и неравенствами (XI=XJ, Xi^xs) для чисел и выводимостями (л'; => х^) дта высказываний. Совокупность первых элементов, входящих в какое-либо бинарное отношение х/ Rx^, называется областью (определения) отношения R, а совокупность вторых элементов - конверсией областью этого отношения, или противообластью. Область и противообласть могут не входить, а могут и входить в одно и то же множество и даже совпадать с ним (обозначим его через М). В этом случае бинарное отношение R на множестве M оказывается подмножеством Декартова произведения МхМ, коим является множество всех упорядоченных пар элементов из М. Это означает, что выполнение R для элементов х и у из At равносильно включению кортежа <х, у> в R.
Бинарное отношение как двухместный предикат, интерпретируемый как высказывание х/ R х^ относительно индивидных переменных х; и хд обращается в истину при выполнении отношения для некоторых предметов а и Ь, подставляемых на места переменных х/и х^. Для бинарных отношений естественно определяются операции дополнения, объединения и пересечения (аналоги соответствующих операций над классами), а также операция умножения (композиции) двух отношений - А/и Т?;; а именно RiR^ выполнено для х/и х; (т. е. верно высказывание х; R/R^x^), если, и только если, в множестве М существует элемент х^, для к-рого верны какх; RiXic, так и Xt R^Xi (если R) = R^, то данная операция порождает степень отношения Ri и обозначается Ri2). Для каждого бинарного отношения существует обратное ему отношение R.], обладающее свойством х/ R-ix^ XоRxi.
Бинарное отношение R на множестве М геометрически интерпретируемо как граф, множеством вершин которого являются элементы множества М, а отношение х; R х^ изображается стрелкой (ориентированным ребром графа), к-рое выходит из вершины х/ и входит в вершину х^. Среди бинарных отношений особо важны отношения эквивалентности (типа равенства), толерантности (сходства) и порядка. Эти отношения различаются по тому, выполняются или не выполня
ются для них свойства рефлексивности (или антирефлексивности), симметричности и транзитивности, имеющие следующий смысл: (1) рефлексивность: для любого объекта х; из М верно высказывание х/ R х„ т. е. всякий элемент х; находится сам с собой в данном отношении; (2) симметричность: для любых объектов х; и х^ из высказывания х/Лх^ следует высказывание x^Rxf, (3) антисимметричность: если верно, чтох/Дхд то обратное отношение x^Rxi верно, только если R рефлексивно; (4) транзитивность: если выполнены отношения XJ R х^ и х^ R XJ, то выполнено и отношение х/ R XJ.
Рефлексивное и симметричное отношение R называется отношением толерантности (сходства) или просто толерантностью; антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка; рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности (равенства) или эквивалентностью. Эквивалентность задает разбиение множества М на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности), так что если для неких х/ и χ.; верно х/ R χι, то х/ и х^ принадлежат одному и тому же классу. Отношение толерантности порождает систему классов толерантности: выполнимость х/ R х^ для х/ и х^ означает в этом случае их попадание хотя бы в один общий класс.
Важный случай составляют тернарные отношения, обладающие тем свойством, что для любых х, и х, существует единственный Xic, при котором <х/, Ху, Χι> входит в R. Такое отношение называется (некоторой) операцией, элементы х, и х, - операндами, а элемент х^ - результатом операции х<; = х, * х/, где * есть знак данной операции. Так, операция сложения чисел соответствует отношению, выполняемому на всех тройках чисел, для которых х^ = х; + ху.
На заданной области Ai можно определить отношение и неопределенной арности, когда R состоит из кортежей разной длины. Напр., если М- множество слов, то можно задать отношение ранжированности, которое, по определению, выполняется для любого набора слов, в котором они перечислены в алфавитном порядке.
Для создания т. н. реляционных баз данных полезно формальное описание связи между объектами разных сортов; в этом случае отношение R понимается как подмножество Декартова произведения, определяемого не на единственном множестве М, а на многих множествах Μι, М^,..., Mm.
Лит.: ТарскийА. Введение в лотку и методологию дедуктивных наук. М-, 1948; Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. М., 1971.
Ю. А. Шрейдер, Б. В. Бирюков