Приглашаем посетить сайт
ОПРЕДЕЛИМОСТЬ
ОПРЕДЕЛИМОСТЬ - понятие методологии дедуктивных наук, связанное с выразимостью в рамках некоторой формальной системы одних понятий через другие. Говоря об определимости, имеют в виду те условия, при которых можно считать, что значение того или иного термина полностью или частично определено некоторой совокупностью предложений. Т. к. имена и предметные функторы вьгразимы посредством соответствующих предикатов, то вопрос об определимости дескриптивных терминов может быть сведен к вопросу об определимости предикатов.
Впервые вопрос об определимости был поднят в связи с рассмотрением отношения между Евклидовой и неевклидовыми геометриями в работах А. Падоа. В дальнейшем в четкой форме понятие определимости было введено А. Тарским. Большое значение для теории определимости сыграли интерполяционная теорема Крейга и теорема Э. Бета. В этих работах была показана тесная связь понятия определимости с понятием выводимости. В результате ряд важных проблем, относящихся к определимости, удалось свести к хорошо разработанным проблемам логического вывода.
Различают синтаксическое и семантическое понятия явной и неявной определимости. Говорят, что в теории Т предикат Ρ(χι,..., Хц) явно синтаксически определим, если в языке, на котором сформулирована теория Т, найдется такая формула А(Х),..., х„), содержащая в точности переменные Χι,..., х„ и не содержащая предиката Р, что оказывается доказуемо следующее утверждение: Т |- VX[...Vx„ (Ρ(χι,.... х„) =А(Х], ..., Χη)). При тех же условиях говорят, что предикат Р(Х| ,..., Хп) явно семантически определим в теории Т, если семантически можно обосновать утверждение: VM (М ||= Т => М ||= УХ). Vx„(P(xi,..., Χη) =Α(Χ|,..., Хц)), т. е. каждая возможная реализация теории Т, являющаяся ее моделью, является моделью и для формулы VX]...VXn(P(Xi, ...,Хп)=А(Х), ...,Хц)).Дляпервопорядковой логики, в силу адекватности ее семантики и синтаксиса, эти два понятия оказываются эквивалентными. Понятие неявной синтаксической определимости задается следующим условием. Пусть Ρ'(χι,..., χ„) - п-местный пре
дикат, не содержащийся в теории Т. Пусть далее Т будет теорией, образованной из теории Т, заменой в каждом предложении всех вхождений предиката Ρ(χι,..., Χη) на предикат Р'(Х],..., Хп). Тогда: предикат Р(Х|, .... Хп) неявно синтаксически определим в теории Т, если Т υ Т' |- Vx,... Ухд (Р(Х|, ..., χ„) = ρ'(χι,..., Хц)), т. е. в теории, которая является объединением двух теорий Т и Т', доказуемо утверждение об эквивалентности двух указанных предикатов. Наконец, предикат Ρ(χι,..., Χη) неявно семантически определим в теории Т, если любые две возможные реализации, которые приписывают одно и то же значение всем предикатам, отличным от предиката Р(Х|, ..., Хц), припишут одинаковые значения и самому предикату Ρ(χι,...,Χη).
А. Падоа доказал метатеорему, согласно которой если предикат Р(Х[,..., Хп) явно семантически определим в теории, то он и неявно семантически определим в ней. Э. Бет доказал обратную теорему. Вообще, для первопорядковой логики показана эквивалентность всех указанных понятий определимости.
В логической литературе кроме указанных рассматриваются и др. виды определимости. Их введение обусловлено типом определений, посредством которых в состав теории вводятся те или иные термины. К ним относятся явные и неявные условные определимости, а также более их общий случай - определимости по случаям. Последний вид определимости играет большую роль при определении операциональных (диспозиционных) терминов. Рассматриваются также различные виды неполной (частичной) определимости, играющие значительную роль при рассмотрении отношений между теоретическими терминами и терминами наблюдения в составе прикладных теорий - дизъюнктивная, условно-параметрическая и параметрическая определимость. Для всех них доказан аналог теоремы Э. Бета. Для случая контекстуального определения терминов рассматривается особый вид контекстуальной определимости.
Часто в логике термин "определимость" употребляется еще в одном смысле, а именно - в смысле выразимости внелингвистических объектов (отношений, свойств, функций) средствами некоторого языка. Понятие определимости в этом смысле было введено А. Тарским и обобщено А. Мостовским. Именно с этим кругом понятий существенно связаны метатеоремы об ограниченности формализмов.
Пусть К - непротиворечивый и замкнутый относительно выводимости класс формул языка L. Тогда "-местное отношение R(xi, Х2,..., Хп) считается синтаксически К-определимым (выразимым) в языке L, если и только если в этом языке существует формула А, содержащая в точности η попарно различных переменных Χι, х;,..., Хп, удовлетворяющая условию: для любой й-ки объектов k], k^, ...,kn имеет место: 1. (R(ki, k2,...,kn)3A(Dk„Dk2,...,Dk„)e K), 2. (^R(k„ k2, ..„ kn) => -A(Dki, Dk;,...., Dkn) е К), где Dk; - терм, обозначающий объект kj. Формула А в этом случае называется К-определяющей я-местное отношение
R(Xl, X2,...,X„).
Если в некоторой теории класс общезначимых формул (истинных предложений) Тг непротиворечив и замкнут, то в качестве класса К может выступить класс Тг и мы получаем понятие семантической определимости (выразимости) п-местного отношения R(X|, х^,..., Хп).
Пусть в некоторой теории класс теорем Т непротиворечив и замкнут. Тогда в случае К=Т мы получаем понятие рекурсивной определимости (Т-определимости). Формула А в этом случае рекурсивно определяет й-местное отношение R(xi, χ;,..., Хп). Понятия формальной дедуктивной системы и эффективно заданной операции оказываются, т. о., внутренне связанными. Язык выступает как подлинный аналитический метод, как механизм исследования конструирующих мыслительных процедур.
Доказано, что если отношение R Т-определимо в достаточно богатой системе (напр., в формальной первопорядковой арифметике - Р), то оно общерекурсивно, и обратно. Понятие Т-определимости в Р является абсолютным в том смысле, что им охватываются все разрешимые предикаты и эффективно вычислимые функции. Поэтому для достаточно богатой системы (напр., той же системы Р) такие синтаксические понятия (понятия метаязыка), как "переменная", "предложение", "аксиома", "формальное доказательство" и др. определимы в языке Р, т. е. синтаксические понятия теории выразимы в самой теории. Однако семантические понятия теории не могут быть описаны в языке теории (метатеорема Тарского).
Введение понятия К-определимости дает своеобразный единый метод доказательства ограничительных метатеорем - теорем Тарского, Россера, Гёделя и позволяет вскрыть определенную внутреннюю связь теорем об ограниченностях формализмов.
Лит.: Смирнов В. А. Логические методы анализа научного знания. М., 1987; Садовский В. Н., Смирнов В. А. Полная и неполная определимость в теориях первого порядка.- В кн.: Методы логического анализа. М., 1977; Смирнова Е.Д. Логика и философия. М., 1996; Beth T. W. The foundations of mathematics. Amst., 1959; Mostov/skiA. Sentences undecidable in formaliced arithmetic. An expozition of tne theory of Kurt Gцdel., 1952; MostowskiA. Graig interpolation theorem in some extended systems of logic.- Logic, methodology and philosophy f science. Amst., 1968.
В. А. Бочаров, Е. Д. Смирнова