Приглашаем посетить сайт

Жмудь Л.Я.: Наука, философия и религия в раннем пифагореизме
Часть IV. Наука.
Глава 2. Математика

Глава 2

Математика

2.1 Греческая математика и Восток

Пифагорейская математика, при всей малочисленности дошедшего материала, занимает столь значительное место в истории античной науки, что вот уже два века служит предметом непрекращающихся споров. Помимо уже упоминавшихся особенностей пифагорейского вопроса, это объясняется еще и тем, что здесь оказываются затронутыми две более общие проблемы: во-первых, возникновение в Греции теоретической математики, во-вторых, влияние на нее восточной традиции. Обе эти проблемы выходят далеко за рамки данной работы, и мы не ставим перед собой задачу их сколько-нибудь подробного анализа.1 Но случилось так, что фигура Пифагора, которому античная традиция приписывает, с одной стороны, решающий вклад в становление теоретической математики, а с другой - заимствование математических знаний у египтян, вавилонян и даже финикийцев, оказывается в центре пересечения этих двух проблем. Без учета как современной исследовательской ситуации, так и того исторического фона, на котором развивалась пифагорейская математика, мы едва ли сможем серьезно продвинуться вперед в ее понимании, хотя в ходе этого рассмотрения речь зачастую пойдет о вещах, с ней прямо не связанных.

* * *

Традиционно историю математики начинали с VI-V вв., т. е. с возникновения в Греции нового типа математических изысканий, составивших в дальнейшем сущность математики как теоретической науки. Исследования последних ста лет пролили свет на долгую предысторию математики, представленную культурами Древнего Востока, прежде всего - Шумера, Египта и Вавилона, затем - Индии и Китая. В этих культурах было сделано множество важных открытий, позволявших решать весьма сложные задачи в области строительства, землемерия, составления календаря, распределения и учета рабочей силы и продуктов и т.п. Но сопоставление с математикой Древней Греции отчетливо показывает сугубо эмпирический и вычислительный характер восточной математики. Наиболее развитая ее ветвь, вавилонская, выросшая, как и все прочие, из практической сферы, в ходе своего развития дошла до решения задач, далеко выходящих за пределы жизненных потребностей. В писцовых школах Вавилона решались квадратные уравнения, которые, хотя и были сформулированы в численном виде и носили характер хозяйственных задач, для практических нужд были явно бесполезны. И все же вавилонская математика (равно как и астрономия) оставалась вычислительной, а не теоретической: «В подавляющем большинстве случаев конечная цель исследования заключалась в составлении школьной задачи и указании способов ее решения».2

Коренное отличие греческой математики от самых сложных восточных вычислений состоит в том, что в ней впервые появляются постановка проблем в общем виде и дедуктивное доказательство - качества, позволяющие отделить математическую науку от занятий числами вообще, начинающихся с первых систем устного счета, т. е. действительно с доистории. Без учета этого отличия, на которое неоднократно указывали ведущие специалисты,3 историю математики действительно пришлось бы начинать с истории устного счета, ибо критерий, отделяющий науку от донауки, был бы утрачен. Хотя этот критерий, как и многие другие, в какой-то степени условен, он представляется нам важным и плодотворным. Обращаясь к проблеме контактов с Востоком, следует помнить о том, что в греческой математике возник комплекс новых качеств, которых на Востоке не было. В сущности, называя греческую геометрию и восточные вычисления одним и тем же словом «математика», мы имеем в виду разные вещи.

История этой проблемы показывает, что Восток нередко рассматривался едва ли не как родина греческой математики. Объясняется это, вероятно, не только свидетельствами античных авторов о восточных заимствованиях в математике, но и отсутствием письменных источников, касающихся греческой практической и вычислительной математики VIII-VI вв., т. е. того фона, на котором возникли первые теоретические изыскания Фалеса и Пифагора. До нас не дошли ни хозяйственные тексты этой эпохи, ни учебные задачи, которые в таком изобилии находят на египетских папирусах и вавилонских табличках, и об уровне практической математики греков можно судить лишь косвенно, по остаткам архитектурных памятников и инженерных сооружений.4 Открытия Фалеса и Пифагора казались многим возникшими едва ли не на пустом месте - отсюда естественное стремление видеть в них результаты заимствования. Неясность причин зарождения теоретической математики и удивительная быстрота, с которой она сформировалась, заставляли обращаться к древним культурам Востока, способным, как казалось, объяснить этот удивительный феномен.

Сами греки, как уже отмечалось, были склонны приписывать восточное происхождение многим областям своей культуры, в том числе и математике.5 Авторы V-IV вв. единодушно называют родиной геометрии Египет. Так, Геродот говорит, что геометрию создали египтяне, движимые практическими нуждами землемерия и администрирования (11,109). Евдем Родосский, автор первой истории геометрии, также считал, что именно практические потребности привели к возникновению геометрии у египтян и арифметики у финикийцев (fr. 133). По его словам, Фалес, побывав в Египте, первым принес геометрию в Грецию, а Пифагор впервые превратил ее в теоретическую науку. Аристотель, напротив, полагал, что и теоретическая математика возникла в Египте, среди жрецов, имевших достаточно времени для занятий проблемами, не связанными с жизненными нуждами (Met. 981 b 23). Особый интерес представляет фрагмент Демокрита (fr. 14 Luria), в котором он утверждает, что никто не превзошел его в построении линий с доказательствами, даже египетские гарпедонапты («натягиватели веревок» -т. е. землемеры). По-видимому, престиж египетской геометрии был действительно высок, если талантливый математик Демокрит ставил себе в заслугу победу в соревновании с египетскими землемерами.

Вполне естественно, что и в XIX в. родиной почти всех математических достижений греков до Евклида продолжали считать Египет - страну, чье культурное наследие привлекало к себе все возрастающий интерес.6 Немецкая школа истории математики следовала в основном этим положениям,7 которые окончательно были сформулированы в капитальном труде М. Кантора: египтяне знали почти все теоремы, традиционно приписываемые Фалесу и Пифагору; различие между египетской и греческой математикой состоит лишь в методе - индуктивном у первой и дедуктивном у второй.8 Издание в 70-х гг. XIX в. математического папируса Ринда, показавшего очень примитивный характер египетской геометрии, и критика чрезмерных увлечений Востоком, прозвучавшая со стороны такого авторитета, как Целлер,9 привели к гораздо более сдержанной оценке успехов египтян и степени их влияния на греков. Как удачно сформулировал Лурье: «Все исследователи сходились в главном: 1) что самый факт влияний на раннюю греческую геометрию надо признать несомненным; 2) что существенного значения это не имело, так как если греки и позаимствовали некоторые числовые данные у египтян, то логически отчетливая последовательная система доказательств - самостоятельная заслуга греческого гения».10

Новое звучание эта проблема приобретает в 30-х гг. нашего века в связи с дешифровкой математических текстов вавилонян. Уровень вавилонской математики оказался гораздо более высоким, чем египетской, а ряд ее проблем носил сходство с математикой греков. Это склонило многих ученых к убеждению, что истоки греческой науки следует искать именно здесь.11 В особенности это касается так называемой «геометрической алгебры», изложенной во II книге Евклида, в которой видят геометрическую переформулировку вавилонских методов решения квадратных уравнений в численном виде.

Возвращаясь к античным свидетельствам, отметим, что один из главных уроков, которые преподали нам египтология и ассириология, состоит в следующем: утверждениям греков о восточной математике и астрономии можно доверять лишь в том случае, если они подтверждаются данными самих восточных текстов. Из последних же вытекает, что тезис о прямой преемственности греческой математики от восточной должен быть окончательно оставлен. Спорить можно лишь о степени использования некоторых данных, тем или иным путем пришедших с Востока, и об их роли в становлении раннегреческой науки. Отдельные данные в ней действительно использовались, но масштабы этих заимствований никак не следует преувеличивать, а их влияние на развитие собственно математических изысканий вообще едва различимо.

Геродот и Евдем, указывая на практический характер египетской геометрии, безусловно были более близки к истине, чем Аристотель. Вопреки его мнению, геометрия формировалась здесь отнюдь не в среде жрецов и никогда не была их прерогативой.12 К тому же Аристотель не прав и по существу: после более чем столетнего изучения египетской математики нет оснований предполагать наличие в ней чего-либо похожего на теорию или доказательство. Греки не могли заимствовать в Египте научные идеи, которых там не было, и их высокая оценка египетской геометрии говорит лишь о том, что они были знакомы с ней лишь понаслышке. Почти все достоверные сведения о египетских заимствованиях относятся к практической математике, причем к арифметике, а не к геометрии.14 Очевидно, что эти арифметические приемы, как правило, весьма примитивные, заимствовали и применяли отнюдь не ученые люди, а купцы или мореплаватели, которых связывали с Востоком куда более тесные связи, чем греческих математиков. Хотя и примеров подобных заимствований весьма мало, эта сторона культурных контактов представляется более плодотворной почвой для их поиска, чем путешествия на Восток ученых. Лаже в тех случаях, когда о них достоверно известно, возможность прямых «научных контактов» кажется весьма маловероятой.

Языковой барьер был здесь едва ли не самым главным препятствием: чтобы разобраться в вавилонской или египетской математике, нужно было изучать чужой язык и сложнейшую письменность. На Востоке писцов, занимавшихся вычислениями, обучали долгие годы - мог ли грек освоить их за время краткой поездки?

Об упорном нежелании греков учить чужие языки и вникать в суть чужих теорий хорошо известно.15 Оно ярко проявилось и в эпоху эллинизма, когда контакты греков с Востоком стали гораздо интенсивней, чем раньше: всякому, кто хотел быть доступным, греческой публике, приходилось писать на ее родном язке. Чужой язык мог выучить человек, которому он был необходим для профессиональной деятельности: врач или наемник, служивший при дворе восточного царя, купец, часто бывавший в восточных странах, или греческий колонист, живший в Египте.16 Но даже в более позднее время нам не известен ни один греческий авор, который бы знал египетский язык и письменность, - даже среди тех, кто действительно побывал в этой стране и оставил о ней сочинения.17 При всем желании нельзя обнаружить ничего египетского в тринадцати книгах Евклида, а ведь он прожил в Александрии большую часть жизни. То же самое справедливо и в отношении других математиков III в. - Архимеда, Эратосфена, Аполлония из Перги, каждый из которых в принципе мог ознакомиться с математикой Востока.

Нет никаких сведений и о том, чтобы кто-нибудь из греческих ученых знал аккадский язык. Р. Шмит, проанализировав все упоминания об ' Ασσύρια / Περσικά / Χαλδαικά γράμματα, приходит к выводу, что, хотя греки и знали о существовании клинописи, никакого различия между ее видами (вавилонским, древнеперсидским, арамейским) они не делали, воспринимая клинопись просто как некое «восточное письмо».18 Отчетливые следы заимствования вавилонских астрономических данных и вычислительных приемов видны лишь с середины II в.,19 уже после того, как появились труды некоторых вавилонских астрономов, написанные по-гречески. Фигура же греческого ученого, изучавшего в VI-V вв. египетскую иеро-глифику или аккадскую клинопись в надежде проникнуть в тайны чужих знаний, остается лишь плодом научного воображения и не имеет отношения к реальным контактам между Востоком и Западом в ту эпоху.

Факт путешествия в Египет Фалеса оспорить трудно,20 но из того, что известно о математике Фалеса, никак не вытекает вывод о его заимствованиях в этой области. О двух теоремах, которыми занимался Фалес, сообщает Евдем (fr. 134, 135), две другие упоминает Прокл (In Eucl., p. 157, 250), черпавший свои сведения из того же Евдема, хотя, вероятно, и опосредованным способом.21 Еще одну называет писательница I в. Памфила (D.L. 1,24). Сведения эти неоднократно отвергались как недостоверные,22 но этому противоречит детальность и, точность информации Евдема, который явно опирался на надежную традицию.23 Можно полагать, что он узнал о теоремах Фалеса из каких-то ранних доксографических сочинений, скорее всего, из книги софиста Гиппия Элидского, на которого он сам ссылался (fr. 133).24 О наличии этой традиции до Евдема говорят и стихи Аристофана, который не стал бы называть Фалеса великим геометром (Nub. 180; Αν. 1009), если бы среди афинян V в. эта репутация не была прочно утвердившейся.

Согласно Евдему, Фалес доказывал, что диаметр делит круг пополам, а угол, опирающийся на диаметр, - прямой; утверждал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны; открыл равенство накрест лежащих углов и, наконец, доказал теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне. Что же из этого можно соотнести с египетской математикой? Ровным счетом ничего. Нужно ли было Фалесу ездить в Египет, чтобы убедиться, что диаметр делит круг пополам? Этот элементарный факт эмпирически доступен любому ребенку, который делит на две части лепешку или круглый кусок сыра. В равенстве накрест лежащих углов легко удостовериться способом наложения, так же как и в равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Как отмечал фон Фриц, теоремы, приписываемые Фалесу, «либо прямо связаны с проблемой симметрии, либо такого рода, что первый шаг доказательства явно основан на соображении симметрии, а второй, который приводит доказательство к выводу, является простым сложением или вычитанием».25

Итак, мы видим, что греки отнюдь не утруждали себя поисками материала для доказательств, более того - они начали с доказательства таких вещей, которые до них никому и в голову не приходило доказывать.26 Ведь египетские геометры тоже знали на практике тот факт, что диаметр делит круг пополам, но они не испытывали ни малейшей потребности в его строгом доказательстве. «Действительно оригинальной и революционизирующей идеей греческой геометрии было стремление найти доказательство 'очевидных' математических фактов».27 В этом, собственно, и заключался переход от практической и вычислительной математики к теоретической науке.

Четыре теоремы Фалеса, связанные с углами и треугольниками, никак не могут соотноситься с египетской математикой еще и потому, что египтяне никогда не занимались сравнением углов по величине и подобием треугольников. Ни в египетской, ни в вавилонской математике вообще не было понятия угла как измеряемой величины.28 По определению Гэндза, геометрия египтян была «линейной», в отличие от «угловой» геометрии греков, в которой углы впервые стали объектом измерения.29 Гэндз полагал, что заслуга введения «угловой» геометрии принадлежит Фалесу и его школе и справедливо видел в этом начало математической теории.

бы в какой-то степени соотноситься с египетской математикой, - это теорема Пифагора. Во всяком случае, неоднократно высказывалось предположение, что египтянам была известна если не сама теорема, то, по крайней мере, тот факт, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 - прямоугольный. Свойства этого треугольника были известны не только в Вавилоне, но и в Индии, и в Китае, т. е. везде, где существовала сколько-нибудь развитая математическая культура. Но как раз в египетской математике ничто не указывает на знакомство с этим или каким-либо иным частным случаем теоремы Пифагора.30

По поводу сообщения Демокрита можно предположить, что во время поездки в Египет он в самом деле пытался доказывать гарпе-донаптам какие-то теоремы, действуя через местных переводчиков, знавших греческий. Означает ли это, что и они, в свою очередь, доказывали ему теоремы? Сам термин гарпедонапты (землемеры) указывает на сугубо практический характер занятий, для которых доказательство теорем было вещью явно бесполезной.31 Едва ли можно сомневаться в том, что эта попытка установления прямых «научных контактов» окончилась безрезультатно для той и другой стороны.

Если в подтверждение тезиса о египетском влиянии можно привести как данные античной традиции, так и факты реальных контактов, пусть даже и крайне незначительные, то в случае с Вавилоном мы не располагаем даже этим. В греческой литературе VI-IV вв. нет ни одного упоминания о вавилонской математике, трудно даже сказать, знали ли о ней вообще. Из области элементарной математики и техники вычислений того времени невозможно привести ни одного надежного факта вавилонского влияния.32 Наконец, никто из авторов этой эпохи не упоминает о поездке Фалеса или Пифагора в Вавилон.33 Чтобы в такой ситуации говорить о «восточной первооснове» греческой математики, нужно располагать вескими доводами, в то время как сам Нейгебауер признает, что его точка зрения - лишь гипотеза, не подтвержденная никакими документальными свидетельствами.34 Справедливость этой оценки хорошо видна на примере «геометрической алгебры».

Исследуя II книгу Евклида, трактующую так называемое приложение площадей,35 математики еще в XVIII в. обнаружили, что ее предложения могут быть переформулированы алгебраически, в виде тождеств и квадратных уравнений. Например, предложение 11,2 можно рассматривать как тождество (а + b)с = ас + bc, а приложение площади с недостатком означает построение на данном отрезке а такого прямоугольника ах, что при отнятии от него квадрата х2 получается данный квадрат б2 (в алгебраической интерпретации ах - x2 = b2). Со времени Цейтена теоремы II книги и сходные с ними предложения VI книги принято называть «геометрической алгеброй» и видеть в ней геометрическую переформулировку алгебраических проблем.36

Содержание теории приложения площадей действительно совпадает с основными типами квадратных уравнений, которые вавилоняне умели решать еще во II тыс. до н.э. Однако математическая близость обоих методов может быть объяснена как генетическим родством, так и типологическим сходством. Какой путь предпочтительнее? В первом случае необходимо доказать, что: 1) теоремы II книги были переведены с алгебраического языка на геометрический, а не что их можно переформулировать; 2) Пифагор или какой-то другой математик VI-V вв. действительно побывал в Вавилоне и обучился местной математике; 3) в то время реально имелась возможность перевода вавилонских методов на язык геометрии.

Доказательство каждого из этих пунктов наталкивается на очень серьезные трудности. Все больше историков математики склоняется к тому, что приложение площадей вовсе не было переформулировкой алгебраических методов, а возникло на греческой почве в ходе решения чисто геометрических проблем.37 Вавилонские решения сложны, требуют специального интереса и специальной же подготовки и потому едва ли могли проникнуть в Грецию, передаваясь из рук в руки (как это было, вероятно, с данными, позволившими Фалесу «предсказать» дату солнечного затмения). О греческом математике, устроившемся в обучение к вавилонскому «коллеге», говорить всерьез не приходится. Помимо всего прочего, у нас нет данных о том, чтобы подобный тип математики практиковался в Вавилоне в VI в.: все наличные тексты относятся к старовавилонскому периоду.38 Наконец, можно ли предположить, что за две с лишним тысячи лет до того, как Декарт создал аналитическую геометрию, нашелся человек, сумевший перевести вавилонские задачи на язык геометрических теорем?39

В самой гипотезе о заимствовании численных решений квадратных уравнений едва ли есть какая-то необходимость: в древнекитайской математике, например, имеются задачи, очень похожие на теоремы II книги Евклида, но возникли они, по всей видимости, без всякого внешнего влияния.40 То же самое справедливо и в отношении метода расчета «пифагоровых троек» - численного значения сторон в прямоугольном треугольнике, в котором также видят результат вавилонского влияния. Между тем найденный Пифагором метод органически связан с его исследованиями четных и нечетных чисел: это видно хотя бы потому, что он справедлив только для нечетных чисел.41 Нам известна вавилонская таблица с целым рядом таких троек,42 но знали ли вавилоняне общий метод для их расчета и как заполнить лакуну между VI в. и эпохой Хаммурапи; к которой относятся вавилонские тексты, остается неясным.

Вызывает возражение и сама постановка вопроса в таком виде. Резонно ли за сходством отдельных математических положений видеть непременно чье-то заимствование, а не результат независимого развития? Основы математики носят универсальный ха-

Equation Have Greek Roots?, Libertas Mathematica 1 (1981) 1-49.

рактер и коренятся в способности человеческого разума к логическому постижению объективного строения мира. Если математики разных культур, отталкиваясь от этих универсальных принципов, приходят к сходным результатам, само по себе это не может быть аргументом в пользу заимствования.43 Обнаружив в разных регионах два сосуда одинаковой формы, расцветки и узора, естественно предположить некую связь между ними, ибо этого сходства могло и не быть и оно требует какого-то объяснения. Если же в Египте и Китае мы находим одинаковую формулу объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, то предполагать здесь влияние или общий источник вовсе не обязательно,44 ибо существует только одна верная формула данного объема, и тот, кто захочет ее найти, в принципе может это сделать. На мысль о внешних влияниях нас могут навести либо факты, говорящие о том, что в данной традиции эта формула не могла быть выведена, либо такое совпадение частных деталей, которое трудно объяснить независимым развитием.

Признавая восточные вычисления первым этапом развития математики, а греческую дедуктивную геометрию - вторым, мы видим между ними логическую связь, но следует ли отсюда историческая преемственность? Ведь при этом из поля зрения выпадает греческая практическая математика, которая, хотя и не была столь развита, как вавилонская, несомненно включала в себя многие факты, служившие материалом для доказательств первых математиков.45 Характерно, что вся терминология греческой математики - местного происхождения (за исключением слова «пирамида»), причем многие термины пришли из практической сферы.46 Это еще раз ставит под сомнение реальность заимствований - они, как правило, оставляют свой след и в языке.

Теория отнюдь не обязательно появляется на определенном этапе развития эмпирической математики. Отсутствие теории во всех математиках древности, кроме греческой, показывает, что причины, приведшие к зарождению и развитию практической или вычислительной математики, не могут вызвать стремление к дедуктивному доказательству. Если греки начали с доказательства вещей, бесполезных для практической жизни и слишком простых для демонстрации технической виртуозности,47 значит импульсы, приведшие к этому, шли из иных сфер общественной жизни.

2.2 Дедуктивное доказательство

Применение доказательства как ничто другое способствовало теоретизации греческой математики, т. е. формулированию теорем в общем виде и отказу от операций с числами. Для строгого и неопровержимого доказательства какого-либо положения (к чему всегда стремились греческие математики) одних практических расчетов или измерений недостаточно, ибо они не являются абсолютно точными, к тому же их можно опровергнуть новыми, еще неизвестными фактами. Стремление к доказательности вело, таким образом, к формулированию общих теорем, справедливых для любых численных соотношений. Одновременно оно направляло развитие греческой математики по геометрическому пути, освобождающему от необходимости операций с числами. Абстрактные отрезки, углы и фигуры были тем материалом, который как нельзя лучше подходил для построений дедуктивного типа.

С введением в математику доказательства связано появление еще одного ее важного качества - аксиоматичности. В основе дедуктивных построений, которым стремятся придать истинный и непротиворечивый характер, по необходимости должны лежать какие-то положения, принимаемые без доказательств. Развитие математической теории естественным образом побуждало греческих математиков к поискам ее аксиоматической основы.48 Таким образом, можно утверждать, что систематическое применение доказательства было важнейшим фактором формирования теоретической математики, построенной на аксиоматической основе. Но что же заставило греков сделать математику доказательной, если сама она никак не побуждала их к этому?

В поисках истоков логического доказательства обычно называют две сферы общественной жизни, в которых оно могло зародиться: во-первых, философию, во-вторых, политическое и судебное красноречие. Так, например, Сабо полагает, что математика VI-начала V в. развивалась эмпирическим путем, а дедуктивное доказательство, в частности reductio ad absurdum, появилось в результате изысканий Парменида и Зенона.49 На первый взгляд, философия оказывается в более удачном положении, чем математика. Первыми дошедшими до нас образцами дедуктивного доказательства считаются фрагменты Парменида и Зенона. Парменид выдвигает свое основное положение - бытие есть, а небытия нет (28 В 2-4), из которого логическим путем выводит характеристики бытия: неизменность, единство, вневременность и пр., и опровергает альтернативные варианты: возникновение бытия, его качественное разнообразие и пр. Зенон, опровергая возможность движения и множественности, регулярно прибегает к reductio ad absurdum (29 А 25, В 1- 2). Парменид, вероятно, был первым философом, подкреплявшим свои идеи логическими доказательствами, но едва ли он изобрел сам дедуктивный метод. Слишком многое говорит о том, что метод этот был воспринят им из математики, в которой он применялся еще со времени Фалеса.

Сабо полагает, что Фалес «доказывал» свои теоремы эмпирическим путем, апеллируя к наглядности геометрических чертежей. Действительно Фалес использовал метод наложения (от которого, кстати, не мог полностью избавиться и Евклид)50 и опирался на факты, истинность которых в ряде случаев наглядна. Но в том-то и дело, что Фалес этой наглядностью не удовлетворился, и его доказательства вовсе не сводились к ее демонстрации. Одно из них, сохранившееся у Аристотеля (An. Prior. 41 b 13-22),51 показывает нормальную процедуру логических рассуждений.

ABC - равнобедренный треугольник с вершиной в центре круга. Требуется доказать, что углы при его основании равны. Ζ 1 = Ζ 2, поскольку оба они являются углами полуокружности; Ζ 3 = Ζ 4, поскольку два угла любого сегмента равны между собой. Отняв от равных углов 1 и 2 равные же углы 3 и 4, мы получим, что углы СВА и CAB равны между собой.

Заметим, что для наглядной демонстрации достаточно было перегнуть пополам папирусный чертеж, однако доказательство Фалеса пошло совсем другим путем.

О дедуктивном характере, по крайней мере, части математических выводов Фалеса свидетельствует и Евдем. В одном случае он говорит о доказательстве теоремы, в другом - что она была «найдена» Фалесом, в третьем - что тот не дал научного доказательства. У него же (fr. 133) мы читаем: «Одному Фалес учил более абстрактным образом (καθολικώτερον), другому - более чувственным, наглядным (αίσθητικώτερον)».

Περί άλογων γραμμών και ναστών (D.L. ΙΧ,47), следовательно, несоизмеримые отрезки были уже открыты. Гиппократ Хиосский (ок. 440 г.) занимался проблемой удвоения куба, которой должна была предшествовать соответствующая проблема в планиметрии - удвоение квадрата, тесно связанная с открытием несоизмеримости. Из фрагмента Гиппократа о квадратуре луночек (Eud. fr. 140) можно заключить, что он знал немалую часть положений I-IV книг Евклида.52 Ясно также, что они были доказаны еще до него, ибо строгость доказательств самого Гиппократа была оправдана только в том случае, если положения, на которые он опирался, имели ту же логическую форму и завершенность, что и его собственные. Гиппократу же Евдем приписывает первые «Начала» (fr. 133), в которых известные в то время теоремы и проблемы были, по всей вероятности, сведены воедино и выстроены в логической последовательности. Все это демонстрирует такую зрелость тогдашней математики, которую нельзя объяснить, полагая, что дедуктивный метод проник в нее из философии только в конце первой половины V в.

Согласно убедительной реконструкции ван дер Вардена, «Началам» Гиппократа предшествовал пифагорейский учебник математики, содержавший основу первых четырех книг Евклида.53 Таким образом, мы вплотную подходим к пифагорейской математике начала V в., откуда Парменид и Зенон могли почерпнуть идею дедуктивного доказательства - ведь согласно традиции, учителем Парменида был пифагореец Аминий (28 А 1). Все это позволяет нам с полным основанием присоединиться к выводу, сделанному еще Т. Гомперцем: «Система Парменида обязана своей формой математике Пифагора».54

В истории науки можно найти множество примеров того, как одна научная отрасль заимствует методы, оказавшиеся успешными в других областях знания. Но никто не будет перенимать метод, если его применение не дало ощутимых результатов на материале той области, где он возник. Между тем дедуктивное доказательство в философии элеатов, да и вообще в философии, отнюдь не обладает такой логической убедительностью и неопровержимостью, как в математике.55 Ни Пармениду, ни Зенону не удалось, собственно, ничего доказать, они лишь пытались это сделать. Уже их младшие современники атомисты отвергают идею о том, что небытия (т. е. пустоты - κενόν) нет: их космос состоит именно из пустоты и движущихся в ней атомов. Не имели успеха, да и не могли иметь, и попытки Зенона опровергнуть возможность движения и множественности, хотя поднятые им проблемы во многом стимулировали развитие философии. Влияние элеатов на последующих философов объясняется глубиной и смелостью их мысли, а не дедуктивными построениями. Разве не были восприняты некоторые идеи Гераклита, стиль рассуждений которого очень далек от доказательности?

Словом, после сравнения весьма скромных успехов дедуктивного метода в философии с тем, что он дал математике, вопрос «у кого он был заимствован?» кажется риторическим.56

Не более убедительна и гипотеза, связывающая зарождение дедуктивного доказательства с красноречием, политическим или судебным. Дело даже не в том, что начало риторики принято относить ко второй трети V в., а свое полное развитие она получила еще позже, - в конце концов, греки могли аргументированно излагать свои взгляды и во времена Фалеса. Но там, где речь идет о жизненных интересах, логические аргументы не могут иметь решающей силы - а именно с этой ситуацией мы сталкиваемся в народном собрании и в суде.57 В то время как греческая математика отталкивалась в своих доказательствах от вещей очевидных и всеми признаваемых истинными, для политической и судебной аргументации такой общей основы нет. Хорошо известно, что в Афинах один и тот же человек часто писал убедительные речи pro и contra, а обвиняемые в тяжких преступлениях приводили в суд жену и детей, больше надеясь смягчить судей их несчастным видом и плачем, чем своими аргументами. Трудно представить себе, чтобы в этой атмосфере могло зародиться стремление строго следовать фактам и ни в чем не грешить против логики.

Итак, едва ли можно сомневаться в том, что математика не заимствовала дедуктивное доказательство у философии или риторики, - оно зародилось в ней самой. В то же время дедуктивный метод, в отличие от просто логических рассуждений, не является чем-то внутренне присущим обращению с числами и фигурами: на Древнем Востоке (включая Индию и Китай) математика развивалась без него. Следовательно, пытаясь ответить на вопрос, почему Фалес стал искать дедуктивное доказательство простых математических фактов, мы вынуждены будем обратиться к причинам, внешним по отношению к математике.

Наиболее убедительный ответ на этот вопрос предлагает, на наш взгляд, концепция греческого культурного переворота, развитая Зайцевым. Одно из ее центральных положений состоит в том, что в Греции VIII-V вв. в силу специфических исторических условий впервые в истории человечества получили общественное одобрение все формы творчества, все виды продуктивной духовной деятельности, в том числе и лишенные непосредственного утилитарного значения.58 Только в такой атмосфере Фалес, влиятельный и богатый человек, мог, не будучи профессионалом (какими были египетские и вавилонские писцы), взяться за доказательство того, что диаметр делит круг пополам. Более того, он не просто взялся, а приобрел на этом поприще общественное признание: традиция сохранила его славу как математика и донесла до нас суть теорем, которыми он занимался. Значит, общественная и культурная атмосфера той эпохи поощряла авторов даже таких открытий, которые не имели практической ценности, - тем самым создавались мощные стимулы для новых поисков в этой области.

Вторым важным фактором культурного переворота был особый тип соревновательности, присущий тогдашнему греческому обществу, а именно такой, в котором главной признавалась победа, дававшая славу, а не связанные с нею материальные блага - их зачастую могло и не быть. Этот дух чистого соперничества зародился в греческой агонистике, а затем распространился и на сферы интеллектуального творчества - сначала на литературу, вслед за ней на философию и науку, удесятеряя силы тех, кто стремился к истине.

Став на путь свободного исследования, не стесненного узким практицизмом и корпоративным духом, математики очень быстро убедились в том, что лишь применение строгого логического доказательства позволяет добиться на этом поприще неопровержимых и, следовательно, общепризнанных результатов, - а только последние и могли принести славу. Эмпирический, вычислительный метод, доступный грекам в то время, не обладал такой убедительной силой и не мог дать столь интересных результатов, следовательно, он был ненадежным средством в достижении успеха. Сколько бы ни измерял Фалес углы при основании равнобедренного треугольника, всегда оставалась возможность возразить, что один из них больше или меньше другого. Иное дело - дедуктивное доказательство: любой скептик мог самостоятельно пройти по всем его этапам и убедиться в его неопровержимости. История геометрии VI-V вв. позволяет проследить последовательное вытеснение из нее приемов, опиравшихся в основном на чувственное восприятие, и решительную победу дедуктивного метода.59 Бесспорность достигнутых с его помощью результатов была настолько очевидна и притягательна, что вслед за математиками к нему обращаются философы.

Таким образом, причины «отрыва» греческой математики от ее эмпирической основы следует видеть именно в воздействии социально-психологических стимулов, придавших ее развитию совершенно новое направление, а не в особых чертах греческого характера (рационализме, ясности ума, особой одаренности в математике), на которые так часто ссылаются. Высокий уровень вычислительных приемов вавилонян ясно показывает, что природа не обделила их математическими способностями - все дело в том, в каком направлении они использовались.

2.3 Пифагор как математик

Прежде чем обратиться к математике Пифагора, вернемся еще раз к уже обсуждавшейся проблеме. Зачастую даже те, кто признает, что Пифагор занимался математикой, оставляют открытым вопрос о его конкретном вкладе в эту науку. Сложность реконструкции этого вклада видят обычно в том, что в пифагорейской школе было принято приписывать свои научные достижения ее основателю,60 поэтому мы и не в состоянии выделить часть, принадлежащую именно Пифагору.

Как было показано выше,61 эта идея не подтверждается ни ранними, ни поздними источниками. Мы не знаем ни одного пифагорейца, который бы действительно приписывал свои математические открытия главе школы. Единственное упоминание об этом обычае в античной традиции принадлежит Ямвлиху и представляет собой его собственный домысел. Будь Ямвлих прав, картина пифагоровой математики выглядела бы следующим образом: число открытий, приписываемых Пифагору, явно превышало бы возможности одного человека; с его именем связывались бы открытия, сделанные уже после его смерти и выходящие за пределы доступных ему сведений; одни и те же открытия приписывались бы и Пифагору, и некоторым его ученикам (как это случилось, например, с платоновским «Послезаконием»). Соответствует ли реальности эта картина? Обратимся сначала к наиболее ранней части традиции - авторам IV в.

1. Согласно Исократу, Пифагор заимствовал свою философию у египтян, точнее, у египетских жрецов (Bus. 28). Это, разумеется, выдумка Исократа, но чрезвычайно интересно то, как описывалась им эта «жреческая философия». Она, помимо всего прочего, состояла и в обучении астрономии, арифметике и геометрии (Bus. 23). Все это, конечно, не имеет отношения к деятельности жрецов, но хорошо согласуется с тем, что говорят другие источники о преподавании математических дисциплин в пифагорейской школе V в.62 Очевидно, что Исократ проецировал на жрецов то, что знал о пифагорейцах.

2. Ученик Платона Ксенократ свидетельствует об открытии Пифагором численного выражения гармонических интервалов: «Пифагор открыл, что и музыкальные интервалы возникают не без участия числа... Затем он исследовал, при каких обстоятельствах интервалы бывают созвучными и несозвучными и как вообще возникает все гармоническое и негармоническое» (fr. 9). Хотя Ксенократ и не говорит здесь, о каких именно интервалах идет речь, из более поздних источников следует, что имелись в виду первые три: октава (2:1), квинта (3:2) и кварта (4:3).63 Поскольку Пифагор выразил музыкальные интервалы через численные соотношения с помощью теории пропорций, естественно предположить, что она была развита им еще до его акустических исследований.64 Математическая теория музыки окончательно сформировала квадривиум дисциплин, преподававшихся в пифагорейской школе: арифметика, геометрия, астрономия и гармоника. Заслуга создания этого комплекса математических наук принадлежит не Феодору из Кирены или Гиппию из Элиды, преподававшим квадривиум во второй половине V в., а Пифагору,65 связавшему музыку не только с математикой, но и с астрономией - в известной доктрине о небесной гармонии.

3. В одном из фрагментов монографии Аристотеля о пифагорейцах говорится: «Пифагор, сын Мнесарха, первоначально посвятил себя занятию математическими науками, в частности числами (τα μαθήματα και τους αριθμούς),66 но впоследствии не удержался и от чудотворства Ферекида» (fr. 191). Судя по тому, что занятия числами оговариваются особо, Аристотель мог знать о преобладании арифметики и теории чисел в математических исследованиях Пифагора.

4. В историческом введении к «Метафизике» Аристотель пишет: «Одновременно с этими философами (Левкиппом и Демокритом) и раньше их так называемые пифагорейцы были первыми, кто, занявшись математическими науками, продвинул их вперед; воспитавшись (έντραφέντες) на них, пифагорейцы стали считать их начала началами всех вещей» (Met. 985 b 23 f). Кого имел в виду Аристотель, говоря о математиках, живших до Левкиппа и Демокрита? В первой трети V в. нам известен лишь один пифагорейский математик, Гиппас, который, впрочем, считал началом всего огонь, а не число - об этом писал сам Аристотель (Met. 984 а 7). Больше ни с каким конкретным лицом отождествить этих так называемых пифагорейцев не удается. Означает ли это, что Аристотель имел в виду всю раннюю школу в целом, включая и ее основателя, либо здесь прямо подразумевается сам Пифагор, как полагал Егер? 67 Во всяком случае, данный пассаж еще раз свидетельствует о том, что Аристотелю было известно о занятиях математикой и ее преподавании в раннепифагорейской школе.

5. Во фрагменте из сочинения Аристоксена «Об арифметике» мы читаем: «Пифагор ценил исследование чисел (или «учение о числах» - ή περι τούς αριθμούς πραγματεία) 68 больше, чем кто бы то ни было другой. Он продвинул его вперед, отведя от практических расчетов и уподобляя все вещи числам» (fr. 23).69 В последующей части фрагмента говорится о четных и нечетных числах, причем дается их типично пифагорейское определение.70 Нельзя ли полагать, что под ή περί τους αριθμούς πραγματεία Аристоксен имел в виду теорию четных и нечетных чисел, сохранившуюся в IX книге Евклида? Как блестяще показал Беккер, эта теория относится к самому древнему пласту пифагорейской математики.71 Опираясь на фрагмент Аристоксена, неучтенный Беккером, ее можно связывать непосредственно с Пифагором. По всей видимости, ему же принадлежит и примыкающее к этой теории построение фигурных чисел с помощью гномона.

6. Прокл в комментарии к I книге Евклида приводит знаменитый «Каталог геометров» (In Euch, p. 64 if), материал которого восходит в основном к Евдему.72 О Пифагоре здесь говорится следующее: «После них (Фалеса и Мамерка. - Л.Ж.) Пифагор преобразовал философию геометрии, придав ей форму образования свободного человека, рассматривая ее начала абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения (άολως καί νοερώς). Он же открыл теорию иррациональных величин (или теорию пропорций. - Л.Ж.) и конструкцию космических фигур» (Eud. fr. 133).

Если первая часть этого пассажа, уже цитированная нами выше, серьезных проблем не вызывает, то вторая, начинающаяся со слов «придав ей форму», носит явные следы неоплатонической терминологии (άολως и νοερώς).73 Как показывает сравнение этого пассажа с параллельным местом из Ямвлиха, его начало у обоих авторов совпадает, далее же следуют их собственные добавления или переложения текста Евдема. Однако у Прокла, в отличие от Ямвлиха, сохранилось и упоминание о двух конкретных открытиях Пифагора. Содержалось ли оно в тексте Евдема? В сущности, у самого Прокла не было никаких особых оснований приписывать Пифагору чужие открытия, более того, он даже сомневался, принадлежит ли тому теорема, носящая его имя (In Eucl, p. 426).74

величинах, и о правильных многогранниках, то вполне резонно предположить, что к нему восходит по крайней мере часть этой информации.

Хотя чтение «теория пропорций» (των ανά λόγων πραγματεία) является широко принятым, оно опирается лишь на одну из рукописей комментария Прокла,75 в других же стоит «теория иррациональных величин» (των άλογων πραγματεία). Тем не менее, если даже у самого Прокла стояла των άλογων πραγματεία, чтение των άνά λόγων πραγματεία могло восходить к тексту Евдема, а затем, уже в виде исправления, появиться в одной из рукописей Прокла. В пользу этого говорят не столько филологические, сколько историко-математические соображения. Применительно ко времени Пифагора вообще нельзя говорить о «теории» иррациональных величин, но лишь об открытии иррациональности у/2, и Евдем едва ли мог этого не знать. Теория пропорций тесно связана с акустическими исследованиями Пифагора и с его математическими открытиями: по-видимому, опираясь на нее, он доказал свою знаменитую теорему. Кроме того, о знакомстве Пифагора с теорией пропорций говорят и другие авторы.76 Если бы Пифагор открыл иррациональность у/2, то связь столь известного открытия с не менее знаменитым именем безусловно нашла бы какое-то отражение в греческой литературе. Однако до Прокла никто об этом не писал, все сведения так или иначе связаны с именем Гиппаса.77 Словом, если у Евдема что-то упоминалось, то скорее теория пропорций; вместе с тем мы в состоянии установить ее принадлежность Пифагору и не опираясь на Евдема.

Непросто обстоит дело и с конструкцией космических тел, т. е. пяти правильных многогранников. Евдем едва ли стал бы приписывать Пифагору конструкцию всех пяти тел: в схолиях к Евклиду (XIII, 1) говорится, что первые три тела (пирамиду, куб и додекаэдр) открыли пифагорейцы, а октаэдр и икосаэдр - Теэтет.

Эта информация, как сейчас общепризнанно, восходит к Евдему. Построение же додекаэдра связывается в традиции с Гиппасом (18 А 4), кроме того, оно предполагает открытие иррациональности, которое едва ли было сделано Пифагором. Из всего этого с определенной степенью вероятности можно заключить, что к Пифагору относится лишь построение двух первых многогранников: куба и пирамиды.78

Версия о том, что Пифагор - автор конструкции всех пяти тел, встречается еще до Прокла, в доксографической традиции (Aet., 11,6.5 = 44 А 15), и восходит, по-видимому, к Посидонию, т. е. к платонической интерпретации пифагореизма, а не к Феофрасту, как полагал Дильс (DK I, 403.8).79 Но кто именно внес в каталог эту фразу, Прокл или предшествовавший ему компилятор, сказать трудно. Так или иначе, ясно, что только поздние авторы связывают с Пифагором чужие открытия, а не ранние пифагорейцы -свои.

7. Согласно эпиграмме Аполлодора-логистика, Пифагору принадлежит доказательство теоремы, носящей его имя. Единодушие, с которым все античные свидетельства называют Пифагора автором этой теоремы, отсутствие иных претендентов, а также ее тесная связь с другими его открытиями, в частности с теорией пропорций, говорят в пользу достоверности слов Аполлодора.

8. Наконец, последнее заслуживающее внимания свидетельство: Герон Александрийский (Geom. 8, р. 218), а вслед за ним и Прокл (In Euch., p. 428) приписывают Пифагору метод определения длины сторон прямоугольного треугольника (пифагоровы тройки). Известно, что оба они пользовались сочинением Евдема, к нему, вероятно, и восходит эта информация.80 Иной источник здесь трудно предположить.

Итак, мы можем предварительно очертить круг тех конкретных математических проблем, к решению которых Пифагор был, скорее всего, лично причастен: теория пропорций, теория четных и нечетных чисел, теорема Пифагора, метод определения пифагоровых троек и построение двух правильных многогранников. Разумеется, нельзя полагать, что этим и исчерпываются все открытия Пифагора в математике. Фрагментарные свидетельства авторов IV в. служат лишь фундаментом для дальнейшей реконструкции математики Пифагора, в ходе которой необходимо привлекать как более поздние сведения, так и внутреннюю логику развития самой математики.

Но прежде чем двигаться дальше, отметим, во-первых, непротиворечивость приведенных выше свидетельств и тесную взаимосвязь математических проблем, о которых они сообщают, а во-вторых, то, что все открытия Пифагора вполне соответствуют уровню греческой математики конца VI в. Пифагорейская математика первой половины V в. (открытие иррациональности, теория приложения площадей и т.д.) закономерно продолжает исследования основателя школы, но все это связывается не с ним, а либо с пифагорейцами в общем, либо конкретно с Гиппасом. Следовательно, ни внутри пифагорейской школы, ни за ее пределами не существовало стремления приписывать Пифагору чужие научные достижения, по крайней мере в области математики.

Но, может быть, эта тенденция проявилась в более поздний период, так что с течением времени Пифагора делали автором все новых и новых открытий? Однако и это предположение не подтверждается известным нам материалом.

Историки рубежа IV-III вв. Антиклид и Гекатей Абдерский, говоря о занятиях Пифагора математикой, не приводят никаких конкретных деталей (FGrHist 140 F 1; 264 F 25). Каллимах упоминает об изучении треугольников и открытии Пифагором какой-то «фигуры» (fr. 191, 58-62 Pfeiffer). В его словах принято видеть намек на знаменитую теорему, что косвенно подтверждает раннюю датировку эпиграммы Аполлодора. Плутарх, цитируя эту эпиграмму, затруднялся решить, к чему именно она относится: к теореме Пифагора или к теории приложения площадей, которую он считал более важным открытием (Non posse. 11,1094 b; Quest, conv. 720 a). Совершенно ясно, что Плутарх не располагал никаким источником, прямо называющим Пифагора автором этой теории.

Никомах пишет о том, что Пифагору были известны арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции (Intr. arith. 11,22) и три средних пропорциональных (ibid., 11,28). Ямвлих к этому добавляет, что при Пифагоре среднее гармоническое называлось «подпротивным» (ύπεναντία), а начиная с Гиппаса его стали называть гармоническим (In Nicom., p. 100). В другом месте Ямвлих говорит, что Пифагору была также известна «музыкальная» пропорция, которую он «вывез из Вавилона» (ibid., р. 118). Наконец, он приписывает Пифагору открытие дружественных чисел, у которых сумма делителей одного равна другому, например 220 и 284 (ibid., р. 35).

Вот, собственно говоря, и все, что говорит античная традиция о математических открытиях Пифагора, остальные свидетельства мы уже приводили выше. Нетрудно заметить, что за пределы области, очерченной авторами IV в., выходит лишь сообщение Ямвлиха о дружественных числах. Никто из античных писателей не соединяет с Пифагором никаких грандиозных достижений и не приписывает ему ничего такого, что в принципе не могло бы ему принадлежать. Обнаруживаемое единодушие, пожалуй, достойно удивления, и его едва ли нарушают слова Прокла о теории иррациональности и пяти правильных многогранниках, особенно если учитывать, что он жил через тысячу лет после Пифагора.

Несколько забегая вперед, отметим, что такую же картину мы наблюдаем и в гармонике, и в астрономии. С последней, правда, дело обстоит несколько сложнее, однако и здесь можно показать, что разногласия источников проистекают из-за естественных искажений, с которыми мы сталкиваемся в тысячах других случаев, а не в силу особого характера пифагорейской школы.

* * *

Вернемся теперь к тому, о чем уже упоминалось выше: к тесной взаимосвязи всех математических открытий Пифагора. Конечно, сама по себе она не является прочным основанием для реконструкции: хорошо известно, что решения двух логически связанных проблем могут отстоять друг от друга на многие десятилетия. И все же ^та взаимосвязь еще раз подтверждает достоверность собранных выше свидетельств.

Одним из важных звеньев между арифметикой, геометрией и гармоникой была теория пропорций.81 Пифагору, безусловно, были известны три средние пропорциональные: арифметическое , геометрическое и гармоническое также «музыкальная» пропорция деления струны монохорда в отношении 12:6, 12:8, 12:9. Данные отношения присутствуют и в «музыкальной» пропорции, где средние члены являются арифметическим и гармоническим средним между крайними (6:9 = 8:12). Эту же пропорцию использовал и Гиппас в своем опыте с медными дисками (Aristox. fr. 90).84

Интересное подтверждение принадлежности Пифагору теории пропорций нашел Г. Френкель.85 Он показал, что некоторые идеи Гераклита выражены в форме геометрической пропорции, например: бог/человек = человек/ребенок (22 В 79), бог/человек = человек/обезьяна (22 В 82-83). Френкель резонно предположил, что Гераклит не сам нашел геометрическую пропорцию, а воспринял ее у ранних пифагорейцев.

Арифметическую теорию пропорций, приложимую к соизмеримым величинам, Пифагор, скорее всего, использовал и при доказательстве своей знаменитой теоремы.86 Ход ее, согласно реконструкции Хита, таков. Исходя из того, что в подобных треугольниках ABC, ABD и A CD стороны пропорциональны, мы получаем следующие равенства:

Складывая их, мы получаем: АВ2+АС2 = BC(BD + DC), или АВ2+ AC2 = DC2.

Следующий раздел пифагоровой арифметики - это учение о четном и нечетном, ставшее первым образцом теории чисел. Как считал Беккер, а вслед за ним большинство историков греческой математики,87 оно сохранилось у Евклида почти в неизменном виде (IX,21-34). Приведем для примера первые пять положений этого учения (в сокращенной форме):

21. Сумма четных чисел будет четной;

22. Сумма четного количества нечетных чисел будет четной;

23. Сумма нечетного количества нечетных чисел будет нечетной;

24. Четное число минус четное число есть четное;

25. Четное число минус нечетное число есть нечетное. Доказательства этих предложений опираются на определения

(ψήφοι), суть дела от этого не меняется. Беккер, а еще более подробно Кнорр демонстрируют, что сохраненные Евклидом доказательства (а не только сами предложения) легко иллюстрируются при помощи псефов.88

Абсолютно неправдоподобно, чтобы Пифагор выдвигал данные предложения без доказательств, которые были добавлены кем-то позднее: сами предложения в большинстве своем очевидны любому, кто знаком с элементарными вычислениями. Аристоксен или Аристотель, говоря о пифагоровой арифметике, едва ли ставили бы ему в заслугу «открытие» или «иллюстрацию» того факта, что сумма четных чисел всегда будет четной, если бы это и сходные с ним предложения не были доказаны. Точно так же, как Фалес в геометрии, Пифагор начал в арифметике с доказательства простейших фактов, которые раньше не считали нужным доказывать. Насколько быстро он продвинулся в разработке дедуктивного метода, показывает следующий факт: четыре предложения этого учения (IX,30-31, 33-34) доказываются от противного. Первым на это обратил внимание Сабо, но он отказался признать, что эти доказательства столь же древние, как и предложения.89 Единственный, в сущности, аргумент, который он приводит, - отсутствие исторических свидетельств - критики не выдерживает. Источников по раннегреческой математике так мало, что ожидать свидетельств для каждого доказательства было бы совершенно утопичным.

Обратившись к математической стороне проблемы, следует признать справедливость выводов Беккера, полагавшего, что все учение о четном и нечетном следует рассматривать еп bloc. (Отмеченные им незначительные изменения не касались предложений

30-31, 33-34.) Предложения, доказываемые от противного, совершенно естественно следуют из доказываемых прямым образом, не отличаясь от них по сложности. Так, например, для доказательства предложений 33-34 не требуется ничего, кроме определений 8-9 седьмой книги. Было бы крайне странно полагать, что первоначальное прямое доказательство было впоследствии заменено косвенным: греческая математика систематически избегала подобных операций. Словом, все говорит за то, что это учение дошло до нас в первоначальном виде.

Отсюда следуют два важных вывода: 1) наглядность математических фактов и их дедуктивное доказательство вовсе не находятся в непримиримом противоречии, как это стремился представить Сабо; 2) доказательство от противного родилось внутри математики, причем на самом раннем ее этапе,90 и лишь затем элеаты попытались применить его в философии.

равнобедренном треугольнике. Она относится к реконструированному ван дер Варденом раннепифагорейскому математическому компендию и была, вероятно, доказана либо в поколении Пифагора, либо в следующем за ним.91

Вторым связующим звеном между геометрией и арифметикой была теория фигурных чисел (треугольных, квадратных, прямоугольных и т.д.). Хотя до нас не дошло прямых свидетельств, относящих ее к Пифагору, в пользу его авторства говорит целый ряд аргументов.

Построение фигурных чисел с помощью гномона (угольника) представляет собой суммирование простых арифметических рядов, например, четных или нечетных чисел.

 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 квадратное число

 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) прямоугольное число

«псефической» арифметике, что и теория четных и нечетных чисел. Аристотель писал о тех, кто «приводит числа к форме треугольника и квадрата» (Met 1092 а 13), имея в виду, скорее всего, ранних пифагорейцев. Спевсипп в своем трактате «О пифагорейских числах» прямо называет некоторые из них «многоугольными» (fr. 28). В то же время очевидно, что теория фигурных чисел предшествует возникшим в первой половине V в. задачам на приложение площадей, которые также решаются с помощью гномона. Наконец, принято считать, что метод определения пифагоровых троек, который приписывают Пифагору Герои и Прокл, был найден им как раз с помощью построения квадратных чисел. Таким образом, у нас есть достаточно оснований, чтобы присоединиться к тем, кто считает Пифагора автором этой теории.92

Основные ее положения не попали в собрание Евклида. Они даются в популярной форме в трудах поздних авторов: Никомаха (Intr. arith. I, 7-11, 13-16, 17) и Теона Смирнского (Ехр., р. 26-42), а также в комментариях Ямвлиха к Никомаху. Никомах не приводит в своей книге доказательств, однако они, по всей видимости, содержались в том материале, который он использовал и к которому практически ничего не добавил. Это следует хотя бы из предложений, совпадающих с Евклидом: у последнего доказательства есть, а у Никомаха они опущены, потому что он писал для публики, которая ими не интересовалась. Если Пифагор строго доказывал все элементарные положения о четных и нечетных числах, то и теорию фигурных чисел он должен был строить на дедуктивной основе. Весьма правдоподобную реконструкцию этой теории приводит Кнорр, хотя сам он и сомневается, чтобы пифагорейцы строили ее столь же строго аксиоматически, как и он сам.93 Вот, например, как могла доказываться одна из ее теорем, упоминаемая у Ямвлиха (In Nicom., p. 86.15 f).

Требуется доказать, что любое прямоугольное число - это удвоенное треугольное число. По определению, прямоугольное число - это сумма ряда четных чисел начиная с двух, а треугольное число - это сумма ряда натуральных чисел начиная с единицы. Поскольку последовательный ряд четных чисел представляет собой удвоение ряда натуральных чисел, очевидно, что прямоугольное число является удвоенным треугольным числом.

Доказательство легко иллюстрируется при помощи псефов:

От исследования треугольных и квадратных чисел можно перейти к стереометрической задаче и попытаться построить тело, ограниченное равносторонними треугольниками и квадратами, -в этом случае мы получим пирамиду и куб. При исследовании свойств квадратных чисел был, вероятнее всего, найден и метод определения пифагоровых троек (начиная с нечетного числа).94 Реконструкция его выглядит следующим образом.

Выше мы цитировали Ямвлиха, который приписывал Пифагору открытие дружественных чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого. Хотя в целом Ямвлих - ненадежный источник, в данном случае у нас как будто нет оснований для сомнения. Другое дело, если мы обратимся к родственной задаче - совершенным числам, которые равны сумме собственных делителей, например: 1 + 2 + 3 = 6 или 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Совершенные числа рассматриваются у Никомаха (Intr. arith. 1,16), а также у Теона Смирнского (Ехр., р. 45.9 ff) и Ямвлиха (In Nic, р. 32.20 f). Никомах дает общее правило их нахождения: если

94Allman. Op.cit, 31 f; Heath. Euclid I, 356 ff; von Fritz. Discovery, 252; van der Waerden. Science, 99. Метод построения прямоугольного треугольника, начиная с четного числа, Герон приписывает Платону (Geom. 9, р. 219), а Боэций - Архиту (Geom., р. 408), которому он, вероятно, и принадлежал.

сумма чисел геометрического ряда будет простым числом, то, умножив ее на последний член ряда, мы получим совершенное число (Intr. arith., 1,16.1-4). Доказательство этого правила у Никомаха, как обычно, отсутствует, но оно сохранилось у Евклида (1Х,36).

второй половины IV в.96 Действительно, впервые совершенные числа встречаются у Евклида, пифагорейцы же, по свидетельству Аристотеля, называли совершенным число 10 (Met. 1084 а 32 f), а не 6 или 28. Ничего не сказано о них и во фрагменте Спевсиппа, хотя простые числа здесь упомянуты (fr. 28).

При отсутствии прямых свидетельств было бы опрометчивым настаивать на раннепифагорейском происхождении совершенных чисел, а тем более приписывать их открытие Пифагору. И все же отметим, что метод их нахождения сам по себе весьма прост и вполне мог быть открыт еще при жизни Пифагора. Предложение IX,36, в котором изложен этот метод, непосредственно примыкает к учению о четном и нечетном (IX,21-34), а его доказательство при некотором изменении может быть дано лишь с опорой на предложения 21-34.97 Если это доказательство действительно было первоначальным, его следует отнести к самому раннему этапу пифагорейской арифметики.

* * *

Рассматривая математические занятия Пифагора, нельзя не заметить в них преобладания арифметической части над геометрической.98 Такой перевес едва ли объясним лишь состоянием наших источников - его подтверждает и ряд исторических свидетельств. Диоген Лаэрций (опираясь, скорее всего, на книгу историка конца IV в. Антиклида) писал, что Пифагор больше всего внимания уделил «арифметической стороне геометрии» (VIII,11). В этом же направлении ведут нас свидетельства Аристоксена (fr. 23) и Аристотеля (fr. 191), подчеркивавших занятия Пифагора числами. Тем не менее, весьма вероятно, что Пифагору принадлежат еще некоторые теоремы первых четырех книг Евклида, пусть даже данных об этом и не сохранилось. Представленный выше перечень его открытий в математике нельзя, естественно, считать исчерпывающим.

С другой стороны, нас не должна удивлять сравнительная немногочисленность математических открытий Пифагора. Греки часто писали о математически окрашенной философии Пифагора, но почти никогда не рассматривали его как математика par excellence, и прежде всего потому, что он таковым не был. Среди самых разнообразных сфер деятельности, в которых проявился его талант, -политика, религия, философия, наука - математика по самой сути вещей не должна была занимать ведущее положение. Можно предполагать, что уже первые «профессиональные» математики -Гиппократ, Феодор, Теэтет или Евдокс - занимались этой наукой систематически и с полной отдачей духовной энергии. Но была ли для Пифагора математика важнее его политической деятельности и религиозного учения?

Для того чтобы дать сбалансированную оценку роли Пифагора в развитии математики, следует рассматривать его в реальной исторической перспективе и сравнивать не с Архитом или Евдоксом, а с его современником Фалесом, для которого математика также не была основной сферой приложения интеллектуальных сил. При таком сравнении можно с полным основанием говорить о новом этапе греческой математики, начавшемся с Пифагора.

Однако Фалес этой наглядностью не удовлетворился, и его доказательства вовсе не сводятся к ее демонстрации. Те из них, которые дошли до нас (Arist. An. pr. 41 b 13-22; Met. 1051 a 26 f), показывают нормальную процедуру логических рассуждений.

Теорема Пифагора не обладает такой наглядностью, как теоремы Фалеса, и является, следовательно, важным шагом вперед. Неоднократно отмечавшуюся99 тенденцию раннегреческой математики перенести центр тяжести с наглядности геометрического построения (зафиксированного, в частности, в таких терминах, как θεώρημα и δείκνυμι) на логическое доказательство следует связывать именно с Пифагором. Ямвлих и Прокл единодушно подчеркивают более абстрактный характер геометрии Пифагора по сравнению с

Фалесом, что должно хотя бы в какой-то степени отражать текст Евдема. Во всяком случае, у Евдема сказано, что Фалес некоторые вещи доказывал καθολικώτερον, другие же - αίσθετικώτερον (fr. 133).

Хотя применительно ко времени Пифагора еще нельзя говорить о сколько-нибудь развитой теории в геометрии, потребность в ней уже явно ощущалась. Она выражалась в эксплицитном формулировании как первых основных аксиом геометрии,100 так и первых геометрических определений (Arist. De an. 409 а 6; De sens. 439 а 31). Не случайно Фаворин утверждал, что Пифагор первым стал давать определения в геометрии (D.L. VIII,48).101

Если Фалес впервые занялся «угловой» геометрией в отличие от «линейной» геометрии египтян и вавилонян, то Пифагор сделал следующий шаг и положил начало стереометрии, построив правильную пирамиду и куб. Помимо геометрии он распространил дедуктивный метод на новую область - арифметику и создал в ней первые образцы теории чисел: учение о четном и нечетном и теорию фигурных чисел. С них начинается отмеченное Аристоксеном отделение арифметики как отрасли теоретической математики от практического искусства счета. Здесь же, вероятно, было впервые применено доказательство от противного, хотя с таким же успехом оно могло возникнуть и в геометрии.

этой науки в Греции. Говоря о пифагорейской математике, следует иметь в виду не только самого Пифагора, Гиппаса, Феодора из Кирены или Архита, но и их учеников, тех, кто воспринял основы этой науки из рук пифагорейцев: Демокрита, Гиппократа, Гиппия из Элиды, Теэтета или Евдокса. Нетрудно заметить, что за пределами этой группы не остается почти никого из значительных математиков V-первой трети IV в.

Причина столь значительных успехов лежит, конечно, не в приверженности математиков тому направлению пифагорейской мысли, которое считало число ключом к познанию мира. Хотя подобная мысль неоднократно высказывалась, никто еще не смог объяснить, каким образом это убеждение могло помочь кому-нибудь именно в математических исследованиях, в отличие, скажем, от приложения математики к исследованию природы. Во всяком случае, Гиппас, Феодор или Архит, у которых следы числовой философии отсутствуют, добились в математике куда больших успехов, чем, например, Филолай, утверждавший, что «без числа нельзя ничего познать» (44 В 4).

Объяснение расцвета точных наук в этой школе лежит в иной области. Пифагорейская математика, хотя и представленная не столь уж большим количеством имен, имела в каждом или почти в каждом поколении по крайней мере одного крупного исследователя: Пифагор (род. ок. 570), Гиппас (род. ок. 530), Феодор (род. ок. 470), Архит (род. ок. 430). К числу факторов, обеспечивавших непрерывность занятий математикой, следует отнести прежде всего преподавание в этой школе четырех родственных дисциплин: арифметики, геометрии, гармоники и астрономии.

Хотя обычно становление квадривиума точных наук связывают со временем Платона, если не с ним самим,102 оно датируется гораздо более ранним временем, причем практически все наши свидетельства связаны с пифагорейцами. Еще в период юности Платона, в последней трети V в., квадривиум преподавали пифагореец Феодор (PI. ТЫ. 145а-Ь) и софист Гиппий (PI. Prot. 318е), связанный с традицией этой школы.103 Архит, говоря о деятельности предшествующих ему пифагорейских математиков, называет родственными (άδελφέα) эти четыре науки (47 В I).104 Платон упоминает о том, что пифагорейцы считали родственными гармонику и астрономию (Res. 530a-531b). Это ведет нас к тому соединению математики с астрономией и гармоникой, которое произошло еще во время Пифагора и нашло свое отражение в его учении о небесной гармонии. Исократ, называя Пифагора учеником египетских жрецов, среди занятий последних перечисляет арифметику, геометрию и астрономию (Bus. 29). Следы занятий всеми четырьмя науками отчетливо видны у Демокрита, имевшего учителей-пифагорейцев.105 Упоминания о родственности четырех наук квадривиума неоднократно встречаются и в псевдопифагорейской литературе.106

Свидетельства, связывающие квадривиум с Пифагором, весьма поздние,107 однако они вполне согласуются с представленными выше фактами. Объединить эти четыре науки мог лишь человек, в деятельности которого они действительно были тесно переплетены, что характерно как раз для научных занятий Пифагора. Можно полагать, что формирование квадривиума произошло либо под прямым влиянием Пифагора, либо было осуществлено им самим.108

могут быть легендарны, но само обыгрываемое в нем выражение (προτίμα τό σχήμα καί βήμα 4ου σχήμα καί τριώβολον') восходит к акусматической традиции (Iam. Protr. 21; Procl. In Eucl, p. 84) и гарантирует тем самым древность практики преподавания. В другом месте Ямвлих пишет о пифагорейце, который, потеряв все свое имущество, смог обогатить себя преподаванием геометрии (VP 89). Первым, кого античная традиция прямо связывает с преподаванием квадривиума, был пифагореец Феодор (43 А 4). Показательно, что хотя сам Филолай явно не был математиком, в его наследии заметны следы обучения этой науке, равно как гармонике и астрономии. Аристотель, имея в виду пифагорейцев V в., писал, что они «продвинув вперед математические науки и воспитавшись (έντραφέντες) на них, стали считать их начала началами всех вещей» (Met. 985 b 23). Наконец, его ученик Евдем прямо говорит о том, что Пифагор сделал геометрию средством воспитания свободного человека (fr. 133).

Неизвестно, насколько было распространено преподавание математических дисциплин в пифагорейской школе. Но даже если оно затрагивало лишь небольшое число учеников, в условиях крайней малочисленности как научных сочинений, так и самих ученых это имело далеко идущие последствия. Постоянные занятия математикой позволяли накапливать и сохранять новые знания, а вместе с тем приобщать к ней именно в том возрасте, который благоприятен и для ее изучения, и для самостоятельного творчества. Эта традиция, поддержанная впоследствии софистами и закрепленная авторитетом Платона, пережила и античность, и средневековье, она сохраняет свою ценность и в наши дни.

2.4 Гиппас и пифагорейская математика первой половины V в.

Из пифагорейских математиков первой половины V в. мы знаем одного лишь Гиппаса. Имена других до нас не дошли, но это вовсе не значит, что их не существовало: за время от Пифагора до Гиппократа Хиосского пифагорейцы достигли в математике слишком многого, чтобы все это можно было связывать только с Гиппасом. Возможно, среди десятков ничего не говорящих нам имен в каталоге Аристоксена и упоминаются те, кто занимался математикой во времена Гиппаса, но никаких сведений об этих людях нет. Как уже отмечалось, анонимность пифагорейских математиков - помимо общей фрагментарности наших сведений - связана, по всей вероятности, еще и с тем, что математический компендий, которым пользовался Гиппократ Хиосский, носил учебный характер. Поскольку он представлял, так сказать, достижения школы в целом, имена авторов в нем были, скорее всего, опущены. Однако о Гиппасе существовала самостоятельная традиция, отразившаяся в некоторых источниках IV в. Могла ли она миновать Евдема, собиравшего сведения о раннепифагорейской математике?

Поздние источники связывают с Гиппасом построение додекаэдра, вписанного в шар, и открытие иррациональных величин, причем оба открытия предстают в них в обрамлении мрачных легенд. В одних версиях этих легенд Гиппас упоминается по имени, в других говорится просто о некоем пифагорейце.

«на самом деле» все открытия принадлежат Пифагору (Iam. VP 88, 247 = Comm. math, sc., p. 77).

2) Тот, кто выдал непосвященным конструкцию додекаэдра, по воле разгневанного божества погиб в кораблекрушении (Iam. VP 247).

3) Пифагореец, открывший непосвященным учение об иррациональных величинах, был изгнан из сообщества, и ему была поставлена гробница как мертвому (Iam. VP 246).

4) Пифагорейца Гиппарха, разгласившего в письменном виде учение Пифагора, изгнали из школы и поставили ему надгробный памятник как покойнику (Clem. Alex. Strom. V,57).109

5-6) Разгласивший пифагорейское учение об иррациональности погиб из-за этого в кораблекрушении (Iam. VP'247; Elias. In Arist. Cat. 125.12 = CAG XVIII.l, p. 125).

He нужно обладать богатым комбинационным воображением, чтобы сделать вывод: все эти версии, касающиеся открытия иррациональности и построения додекаэдра, относятся к одному й тому же человеку, а именно - к Гиппасу.111 Какой, однако, источник стоит за математической частью этих сообщений? По крайней мере два из них (7-8) опираются, судя по всему, на Евдема;112 известно также, что к нему восходят и сведения об открытии пифагорейцами первых трех многогранников (Schol. in Eucl. XIII, 1). Едва ли могут быть сомнения в том, что именно Евдем связывал с пифагорейской школой оба интересующих нас открытия. Но называл ли он при этом имя Гиппаса?

Если Евдем писал просто о некоем «пифагорейце», а поздняя традиция подставила на это место имя Гиппаса, то мы, разумеется, лишены возможности определить, кому же именно принадлежат эти открытия: то, что было неизвестно Евдему, не могло стать известным Клименту или Ямвлиху. Тем самым Гиппас вообще исчезает из истории математики, ибо никаких других открытий с ним более не связывают. Словом, если Евдем и его современники не знали математика по имени Гиппас, то его и не существовало. Почему же в таком случае Гиппас воскресает в поздней традиции, которая именно ему, а не Пифагору приписывает два столь важных открытия?

Конечно, у поздних авторов могли быть самые разнообразные мотивы. И все же имя Гиппаса в античной традиции - это не просто некий крюк, на который было удобно повесить анонимные открытия. Аристотелю и Феофрасту Гиппас был известен как философ (Met 984 а 7; DK 18 А 9); Аристоксен упоминает о его экспериментах в гармонике (fr. 90). Достаточно детальные сообщения о его математической теории музыки и акустических опытах, содержащиеся у Теона Смирнского и Боэция (18 А 13-14), также должны восходить либо к Аристоксену, либо к какому-то другому источнику этого времени. Ямвлих упоминает Гиппаса в связи с учением о пропорциях (In Nic., p. 100), что также трудно считать чьей-то выдумкой. Итак, если пифагореец Гиппас, занимавшийся философией, музыкой и математикой, действительно существовал, а Евдем упоминал об открытии пифагорейцами иррациональности и построении додекаэдра, то поздняя традиция, связывающая эти открытия с Гиппасом, должна содержать в себе историческое ядро.113

У Ямвлиха сразу же за пассажем о Гиппасе (№ 1) говорится, что после разглашения математические науки преумножились, в особенности их продвинули вперед двое: Феодор из Кирены и Гиппократ Хиосский (Comm. math, sc., p. 77). У Евдема оба математика также упоминаются в одном и том же предложении (fr. 133), и это еще более повышает вероятность того, что упоминание Гиппаса восходит к Евдему.114

«Каталоге геометров», почему его нет у Прокла?115 Можно назвать по крайней мере одну существенную причину такого умолчания: сам Прокл (в отличие от Евдема) приписывает Пифагору именно те открытия, которые предшествующая традиция связывала с Гиппасом: открытие иррациональных величин и построение правильных многогранников (в их числе, естественно, подразумевался и додекаэдр). Места для математика Гиппаса в каталоге, таким образом, не оставалось! Можно предположить, что Прокл, доверившись сведениям, которые настойчиво связывали с Гиппасом разглашение чужих открытий, решил пожертвовать этой фигурой и вообще не упоминать ее. Во всяком случае, у нас есть хороший пример того, как Прокл корректирует Евдема: если последний приписывает первые три многогранника пифагорейцам, а два - Теэтету, то у Прокла уже все пять принадлежат Пифагору.

Недоброжелательность пифагорейской традиции к Гиппасу связана, конечно, не с предполагаемой выдачей математических секретов, а в первую очередь с его политическим соперничеством с Пифагором (18 А 5). Эта недоброжелательность нашла свое отражение не только в поздних рассказах о Гиппасе как главе «математиков», которым противопоставляются верные Пифагору «акусматики». Гиппас - один из немногих представителей ранней школы, которому псевдопифагорейская традиция не приписывала никаких сочинений, кроме некоего Μυστικός λόγος, направленного против Пифагора (D.L. VIII,7).

Зарождению легенд о выдаче им секретов и изгнании из общества (гибели в море) способствовало, вероятно, то обстоятельство, что термин αρρετος значил одновременно «иррациональный, не выразимый в числах» и «священный, тайный».116 Такое объяснение содержится в источнике, который использовал Папп,117 и оно кажется вполне разумным.118 В его авторе резонней видеть Евдема, чем кого-либо из поздних авторов, для которых легенды давно уже стали частью пифагорейской истории. Во всяком случае, употребление термина αρρετος по отношению к иррациональным величинам относится к первой половине V в.; у Феодо- pa появляется термин ασύμμετρος, а начиная с Теэтета постоянным terminus technicus становится άλογος.119 Этот факт также может указывать на раннее происхождение легенды о разглашении секрета иррациональности.

Поскольку традиция связывает с Феодором доказательства иррациональности величин, лежащих между у/Ъ и у/ΪΊ, открытие Гиппаса традиционно относят лишь к у/2. Классическое доказательство иррациональности у/2, т. е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, дается в приложении к X книге Евклида. Оно опирается на учение о четном и нечетном и ведется методом reductio ad absurdum.121 Обе эти детали указывают на его пифагорейское происхождение, но данное доказательство слишком сложное, чтобы быть первоначальным.122 Фон Фриц, например, считал, что Гиппас открыл иррациональность, исследуя свойства правильного пятиугольника, диагональ которого также несоизмерима с его стороной. Попытки найти для них общую меру ведут к построению все новых пятиугольников, что наглядно демонстрирует бесконечность самой процедуры.123 Однако доевклидова традиция связывает открытие иррациональности со стороной квадрата, а не пятиугольника (Pl. Tht. 147d; Parm. 140b-c; Arist. Met. 1053 а 14 f). Поэтому более предпочтительными кажутся реконструкции, основанные на отношении диагонали и стороны квадрата.124 Одна из них, предложенная Кнорром,125 выглядит следующим образом.

Дан квадрат ABCD. Из чертежа видно, что квадрат DBHI является его удвоением. Если сторона DB и диагональ ВН соизмеримы, то можно сосчитать, какое количество раз каждая из них измеряется их общей мерой. При этом из чисел DB и DH по крайней мере одно не должно быть четным.

Значит, AGFI делится на 4. Поскольку ABCD - это 1/4 AGFE, он представляет собой четное число. Квадратное число DBHI должно быть его удвоением. Отсюда DBHI и его сторона DB - четные числа. Таким образом, вопреки предположению, мы приходим к тому, что числа DB и DB четные. Следовательно, эти две линии несоизмеримы.

Какую бы, впрочем, реконструкцию первоначального доказательства иррациональности у/2 мы ни приняли, остается ясным, что это открытие имело кардинальную важность в становлении греческой математики. Проблемы, которые оно породило, дали импульс исследованиям Гиппократа, Феодора, Теэтета и нашли свое завершение в созданной Евдоксом теории пропорций, действительной как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. Значение открытия иррациональности многие были даже склонны переоценивать, полагая, что оно привело к так называемому кризису оснований в греческой математике - по аналогии с тем, что произошло в математике на рубеже XIX-XX вв.126 Однако эта точка зрения давно уже оставлена, ибо свидетельства такого кризиса отсутствуют.127 Столь же мало подтверждения находит и идея о том, что открытие Гиппаса нанесло «смертельный удар» по пифагорейской догме «всё есть число». К этому вопросу мы еще вернемся при обсуждении пифагорейской философии.

Важность открытия иррациональности является одной из причин, по которой многие историки математики стремятся отнести его к как можно более позднему времени, к концу V в. или даже к началу IV в. Между тем все необходимые математические предпосылки этого открытия (теорема Пифагора, теория четных и нечетных чисел, метод reduciio ad absurdum) имелись уже на рубеже VI-V вв. Нас не должно смущать то обстоятельство, что между Гиппасом и Феодором, продолжившим его исследования, прошло два поколения. Такой же или даже еще больший временной разрыв мы наблюдаем и во многих других случаях. Первые три пропорции открыл Пифагор, следующие три были найдены Евдоксом (Eud. fr. 133), родившимся на 180 лет позже. Так же обстоит дело и с двумя способами нахождения пифагоровых троек: первый из них был найден Пифагором, второй - Архитом.

* * *

Представление о том, чего достигли пифагорейцы в математике к началу деятельности Гиппократа Хиосского (ок. 440), можно получить, сопоставляя свидетельства Евдема с тем, что вытекает из фрагментов самого Гиппократа. При этом следует помнить, что Евдем называет еще двух геометров, работавших в первой половине V в.: Анаксагора и Энопида Хиосского (fr. 133). К сожалению, о математике Анаксагора мы совсем ничего не знаем, с Энопидом же традиция связывает два сравнительно элементарных предложения (Eucl. 1,12, 23), которые, однако, весьма важны для астрономии.128

Из сообщений, прямо или опосредованно восходящих к Евдему, известно, что пифагорейцам принадлежали следующие геометрические открытия:

2) теория приложения площадей, рассматриваемая в I и II книгах Евклида (fr. 137);

3) теорема о том, что плоскость вокруг точки могут заполнить только следующие правильные многоугольники: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника (Procl. In Eucl., p. 304);

4) IV книга Евклида, рассматривающая отношения правильных многоугольников и круга (Schol. in Eucl. IV,2);

5) построение трех правильных многогранников - куба, пирамиды и додекаэдра (Schol. in Eucl. XIII,1).

Евклида, в частности предложения 1-12, 22-23, 29, 32, 47-48.129 Ему была известна также обобщенная теорема Пифагора для остроугольных и тупоугольных треугольников (II, 12-13) и теорема о правильном шестиугольнике, вписанном в круг (IV,15). Вместе с тем правильный пятиугольник, вписанный в круг, был известен уже Гиппасу. Мы еще раз убеждаемся в том, что вся

IV книга Евклида была известна пифагорейцам, за исключением, может быть, последнего предложения о правильном пятнадцати-угольнике (IV,16).130

Поскольку IV книга опирается на положения III книги, часть из которых была известна уже Фалесу, а некоторые другие использовал Гиппократ при квадрировании луночек, следует заключить, что к пифагорейцам восходит и большая часть III книги.131 Правда, позже к этой книге был добавлен ряд других теорем, а старые были частично переработаны Евклидом либо кем-то незадолго до него. Незначительной переработке подверглось и несколько теорем IV книги, но в целом обе эти книги, бесспорно, восходят к пифагорейцам.132

Все 14 теорем II книги Евклида посвящены приложению площадей, которое, как мы помним, Евдем приписывал «пифагорейской Музе».133 В этой теории квадрирование прямоугольной фигуры решается нахождением среднего пропорционального χ между двумя отрезками а и b, - квадрат со стороной а: и будет равен прямоугольнику ab. Гиппократ не только отлично знал этот метод, но и развил его, сведя задачу об удвоении куба к нахождению двух средних пропорциональных между двумя заданными отрезками. Здесь важно отметить, что Гиппократу не просто были известны предложения, которые мы возводим к пифагорейцам, - в конце концов, он мог доказать их и сам. Но дело в том, что Гиппократ ставил перед собой уже гораздо более сложные задачи и опирался на достижения пифагорейцев в решении своих собственных проблем, таких как квадратура луночек или удвоение куба.

Итак, можно заключить, что в области планиметрии к середине

IV в. она была сильно переработана и к ней были добавлены многие новые предложения, касающиеся параллелограммов.134 Помимо этого, создание Евдоксом новой теории пропорций, изложенной в V книге Евклида, вызвало необходимость редакции всех тех положений первых четырех книг, которые опирались на старую теорию пропорций,135 например теоремы Пифагора.

В области стереометрии к пифагорейцам можно отнести построение трех правильных многогранников (XIII книга Евклида) - куба, пирамиды и додекаэдра. Не исключена, правда, и вероятность того, что они больше занимались математическими соотношениями, присущими этим многогранникам, чем их точным математическим построением.136 Сомнения высказывались в особенности по поводу додекаэдра, ибо построение октаэдра, представляющего собой соединение двух пирамид с квадратным основанием, гораздо проще; тем не менее октаэдр приписывают Теэтету, а додекаэдр -Гиппасу.137 Разделение теории правильных многогранников на два этапа (исследование отдельных многогранников и их общая теория) помогает уяснить, почему более сложный многогранник был построен раньше, чем более простой и тривиальный.138 Гиппас занимался не теорией правильных многогранников как таковой, а именно додекаэдром. Теэтет же, поставив вопрос о том, какие правильные многогранники вообще могут существовать, легко открыл октаэдр.

Еще Хит полагал, что основа всех трех арифметических книг Евклида (VII-IX) восходит к пифагорейцам,139 имея в виду, разумеется, и Феодора, и Архита. Однако раннепифагорейская арифметика отражена в собрании Евклида лишь в очень небольшом

210 объеме, остальной материал дошел до нас через посредство неопифагорейцев. Тем не менее подавляющее большинство историков греческой математики от Таннери и Хита до ван дер Вардена и Кнорра относит значительную часть этого материала к концу VI-середине V в. Буркерт противопоставил этому консенсусу совершенно иной взгляд: до Архита пифагорейская арифметика состояла из заимствованных у вавилонян формул, числовой мистики и туманных спекуляций о четном и нечетном.140 Несмотря на высокий филологический уровень его анализа, показавшего немало слабых мест в прежних реконструкциях, позиция Буркерта не получила серьезной поддержки среди историков математики, ибо против нее говорит слишком много фактов.

Если в геометрии пифагорейцы отнюдь не были монополистами, то в арифметике все известные нам математики вплоть до Фимарида, жившего уже в середине IV в.,141 либо прямо связаны с пифагорейской школой, либо были учениками пифагорейцев, как Теэтет и Евдокс. Едва ли случайно сам Архит считал, что арифметика (или теория чисел - λογιστική) превосходит геометрию, поскольку дает доказательства там, где геометрия бессильна (47 В 4).142 Очевидно, что это суждение относится к предшествующей ему математике, причем математике по преимуществу пифагорейской, в которой арифметическая компонента присутствует с самого начала.143 Высокий уровень арифметических доказательств самого Архита подразумевает наличие уже сложившейся и дедуктивно развитой дисциплины. Недаром многие склонны полагать, что до Архита существовал арифметический компендий, аналогичный «Началам» Гиппократа в геометрии.144

VII книги, на которые они опираются, восходят к самому раннему этапу пифагорейской арифметики. Это учение о четных и нечетных числах вполне может принадлежать Пифагору, равно как и метод построения фигурных чисел.147 Ван дер Варден относит VIII книгу к Архиту или его школе, VII книгу - к пифагорейцам до Архита.148 В качестве возможного автора VII книги следует назвать Феодора. Так же, как его ровесник Гиппократ свел воедино в своих «Началах» те вещи, которые он считал необходимыми для дальнейшего развития геометрии, Феодор мог обработать и систематизировать известный ему арифметический материал.

Разумеется, далеко не все, что было известно ко времени Евклида, попало в арифметические книги «Начал». Значительная часть этого материала казалась малопригодной для той систематической теории чисел, которую представляет собой Евклидова арифметика. Через посредство спевсипповского трактата «О пифагорейских числах» и эллинистических компендиев материал этот оказался доступным неопифагорейским авторам и нашел в них горячих почитателей. Некоторые вещи всплывают еще позже, как например, метод нахождения соотношений стороны и диаметра квадрата (так называемых πλευρικοί και διαμετρικοί αριθμοί), который трактует Прокл в комментарии к «Государству».149 Этот алгоритм сводится к теореме о том, что квадрат иррационального диаметра отличается на единицу от квадрата соответствующего рационального диаметра.150 В отличие от данного арифметического метода соответствующая геометрическая теорема попала в собрание Евклида (11,10), причем ее терминология, равно как и само нахождение во II книге указывают на пифагорейское происхождение.151

Несмотря на весьма активное в последние десятилетия исследование раннегреческой геометрии, здесь по-прежнему остается немало проблем. С одной стороны, ясно, что далеко не все положения, вошедшие в первые четыре книги Евклида, появились в период между Гиппасом и Гиппократом. Часть из них была доказана еще Фалесом и Пифагором, а возможно, и какими-то другими математиками VI в., не относившимися к пифагорейской школе.152 С другой стороны, маловероятно, чтобы Гиппасу принадлежали только те открытия, о которых сообщает традиция, - математик такого уровня должен был сделать гораздо больше. Впрочем, тот же вопрос правомерен и в отношении других математиков V в. - как пифагорейцев, так и непифагорейцев. Анаксагор и Энопид были на несколько десятилетий старше Гиппократа, Демокрит и Феодор принадлежат к его поколению. Ограничиваются ли их открытия лишь тем, что мы о них знаем?

Во многих случаях внутренняя логика развития математики позволяет компенсировать скудность исторических свидетельств и отнести ту или иную проблему либо даже целую книгу из собрания Евклида к определенному периоду. Однако этих свидетельств все же слишком мало для надежного атрибутирования. В итоге ситуация выглядит весьма парадоксально: совокупность открытий всех известных нам по именам математиков - от Фалеса до Феодора -оказывается едва ли ни сопоставимой с тем, что традиция приписывает анонимным пифагорейцам! Однако тот известный и неприятный факт, что источники сообщают совсем не то, что нам нужно, не следует принимать за стремление античных авторов приписать пифагорейцам открытия, им не принадлежавшие, или за особую склонность пифагорейцев к анонимности. Вообще все, что нам известно о раннегреческой математике, известно случайно, и если бы, скажем, до нас не дошел комментарий Прокла к I книге Евклида, то мы знали бы о ней еще в десять раз меньше. В таком положении приходится довольствоваться тем, что можно извлечь из источников, и если они говорят о главенствующей роли пифагорейцев в построении дедуктивной математики, сомневаться в этом нет оснований.

Сноски

2 Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика. Москва 1961, 211. К подобному же выводу приходит автор проницательного анализа восточной математики Хойруп: то, что мы находим в Вавилоне, это не pure mathematics, a pure computation (H0yrup J. Mathematics and Early State Formation. Roskilde University Centre 1991. Preprint № 2, 44 ff).

3 Becker O. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. München 1954, 22; Neugebauer. ES, 49; van der Waerden. Science, 35; Fritz K. von. Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft. Berlin/New York 1971, 335 f.

4 См., например: Hahn R. What Did Thaies Want To Be When He Grewup? B. P. Hendley, ed. Plato, Time, and Education: Essays in Honor of R. S. Brumbaugh. Albany 1987, 116 ff.

5 См. выше, 1,3.1.

что геометрия на Востоке ограничивалась лишь несколькими весьма элементарными понятиями: Montucla J. F. Histoire des mathematiques. T. 1. Paris 1798, 49, 101 f.

7 Bretschneider. Op.cit., 15 f, 43 f; Hankel H. Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter. Leipzig 1874, 91 f.

8 Cantor Μ. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. 4. Aufl. Bd I. Leipzig 1880, 109, 112 f, 140.

9 Zeller, 21 ff.

10 Лурье С. Я. К вопросу о египетских влияниях на греческую геометрию, АИНТ1 (1933) 45.

и Пифагоре, а второй видит в них посредников между восточной и греческой математикой.

12 Heath Т. L. Mathematics in Aristotle. Oxford 1949, 195 f; Griffiths J. G. Herodotus and Aristotle on Egyptian Geometry, CR 2 (1952) 10-11.

13 Viola Т. Le opinioni che gli antichi Greci avevano sulla matematica delle culture precedenti, C. Mangione, ed. Scienza e filosofia: Saggi in onore L. Geymonat. Müano 1985, 809-820.

14 B схолиях к платоновскому «Хармиду» (Charm. 163е), восходящих, вероятно, к Гемину, упоминается о египетских способах умножения и деления, а также операциях с дробями (см.: Heath. Mathematics I, 14, 41 f, 52 f). Таннери, привлекший этот текст, отмечал, что греческие методы более совершенны (Tanery. Geometrie, 48 f). Поскольку наши сведения основаны преимущественно на папирусах эллинистического и римского времени или на трудах Герона и Диофанта, остается под вопросом, когда именно египетские методы проникли в Грецию. См.: H0yrup J. Sub-Scientific Mathematics: Undercurrents and Missing Links in the Mathematical Technology of the Hellenistic and Roman Worlds. Roskilde University Centre 1990. Preprint № 3. Самый ранний известный мне случай представления дробей «по-египетски» отмечен на греческом папирусе из Египта, датируемом началом III в.: Fowler D. Η., Turner Ε. G., Hibeh Papyrus i 27: An Early Example of Greek Arithmetical Notations, EM 10 (1983) 352.

15 Momigliano A. Alien Wisdom: The Limits of Hellenisation. Cambridge 1972,

ömischen Antike, С. W. Müller e.a., Hrsg. Zum Umgang mit fremden Sprachen in der griechisch-römischen Antike. Stuttgart 1992, 1-20. Вернер приводит слова Галена, отмечавшего, что в старину бывали такие удивительные люди, которые владели двумя языками; при этом имелся в виду Анахарсис! Первый известный нам перевод на греческий язык, перипл карфагенянина Ганнона, был сделан только в IV в., но переводил ли его грек, неизвестно.

16 Впрочем, переводчиками при греческих солдатах в Египте были местные жители (Hdt. 11,154). Ксенофонт упоминает в «Анабасисе» (IV,8.4) о негреческих рабах-переводчиках. См.: Werner. Op.cit., 12 f.

17 Iversen. Op.cit, 41 f.

18 Schmitt R. Assuria grammata und ähnliche: Was wüsten die Griechen von Keilschrift und Keilinschriften?, Zum Umgang mit fremden Sprachen, 21-35. Ни об одном греке, знавшем вавилонскую клинопись, Шмит не упоминает.

19 Neugebauer. Η AM А II, 584 ff. См. ниже, IV.4.1

измерил высоту пирамиды по длине ее тени (fr. 40).

21 Becker. Grundlagen., 24 ff; Heath. Mathematics I, 128 ff; Euclid I, 36 f.

22 См., например: Dicks D. R. Thaies, CQ 53 (1959) 294-309.

23 Burkert, 416.

24 Snell B. Die Nachrichten über Lehre des Thaies und die Anfänge der griechischen Philosophie- und Literaturgeschichte, Philologus 96 (1944) 170-182; См. также: Classen С. J. Bemerkungen zu zwei griechischen 'Philosophiehistorikern' Philologus 109 (1965) 175-178; Patzer A. Der Sophist Hippias als Philosophiehistoriker. München 1986, 108 f.

26 Интересно, что еще в начале XX в. Цейтен писал: «Трудно найти какой-нибудь смысл в утверждении Евдема, будто Фалес доказал, что диаметр делит круг на две равные части: в те времена вовсе не считали необходимым доказывать столь очевидную вещь» (Zeuthen Η. G. Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter. Leipzig 1912, 35).

27 Stenius E. Foundations of Mathematics: Ancient Greek and Modern, Dialectica 32 (1978) 258.

28 Vogel К. Vorgriechische Mathematik. Hannover 1958-1959. Т. I, 72; Т. II 23 η. 2, 39 η. 4. Известное деление круга на 360 градусов появилось в вавилонской астрономии не ранее III в. (Neugebauer. ES, 25). См. также: Szabo Α., Maula Ε. ΕΓΚΛΙΜΑ. Untersuchungen zur Frühgeschichte der antiken griechischen Astronomie, Geographie und Sehnentafeln. Athen 1982, 189 ff.

29 Gands S. The Origin of Angle-Geometry, Isis 12 (1929) 452-482.

31 Gands S. Die Harpedonapten oder Sielspanner und Sielknüpfer, Q&S 1 (1930) 255-277; Vogel. Op.cit. I, 59 n. 4.

32 О некоторых следах влияния на астрономию см. ниже IV,4.1.

33 Первое упоминание о заимствовании Пифагора из математики Вавилона мы находим у Ямвлиха (In Nicom. 118.23 f), который писал, что философ вывез оттуда «музыкальную пропорцию», т. е. 12:9 = 8:6. Между тем у вавилонян не было даже понятия пропорции: Becker О. Frühgriechische Mathematik und Musiklehre, AfM 14 (1957) 156-164.

34 Neugebauer. ES, 147.

«пифагорейской музе» (fr. 137), имея в виду пифагорейских математиков первой половины V в.

36 Zeuthen Η. G. Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. Kopenhagen 1886, 6 ff.

37Szabo A. The Beginnings of Greek Mathematics. Dordrecht 1968, 332 ff; Un-guru S. On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics, AHES 15 (1975) 67-114; idem. History of Ancient Mathematics, AHES 70 (1979) 555-565; Mueller J. Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclids Elements. Cambridge 1981, 170 f, 179; Unguru S., Rowe D. E. Does the Qudratic

38 Vogel. Op.cit. II, 12 n. 3; Gericke H. Mathematik in Antike und Orient. Berlin 1984, 43; Hoyrup. Mathematics, 52 ff.

39 Зайцев. Культурный переворот, 177. Отметим, что недавно Хойруп предложил новую, более «геометрическую» трактовку вавилонских задач (H0yrup J. Algebra and Naive Geometry. An Investigation of Some Basic Aspects of Old Babilonian Mathematical Thought, Altorient. Forschungen 17 [1990] 27-69, 262-354). Если это и приближает нас к лучшему пониманию вавилонских методов, то никак не делает их более доступными для восприятия греков.

41 См. ниже, IV,2.3.

42 Neugebauer. ES, 36 ff.

43 Противоположная точка зрения в ее наиболее крайнем варианте выражена в недавней книге ван дер Вардена, нашедшего общую основу всех пяти математик древности в культуре мегалитических памятников Ш-начала II тыс. до н.э. на территории Британии (Waerden В. L. van der. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlin/New York 1983).

44 Ср.: Waerden B. L. van der. On Pre-Babylonian Mathematics, AHES 23 (1980) 19 ff.

46 Mugler Ch. Dictionnaire historique de la terminologie geometrique des grecs. T. I-II. Paris 1958-1959.

47 Этот мотив Хойруп считает одним из важнейших стимулов в развитии вавилонскими писцами все более сложных типов вычислений (Hoyrup. Mathematics, 48).

48 Начало этого процесса относится еще к концу VI-первой половине V в. См.: van der Waerden. Postulate, 357.

49 Szabo. Beginnings, passim. См. также: Burkert, 425; Philip, 200.

51 Becker О. Das mathematische Denken der Antike. Göttingen 1966, 38 f; Neuenschwander Ε. A. Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, AHES 9 (1973) 353 f. Упоминаемое в «Метафизике» (1051 а 26) доказательство, вероятно, также принадлежит Фалесу.

52 Van der Waerden. Science, 135.

53 Van der Waerden. Postulate, 343 ff. Об этом писали и раньше: Tannery. Geomerie, 81; Rey A. Les mathematiques en Grece au milieu du Ve siecle. Paris 1935, 58 ff. См. также: Heath. Mathematics I, 165 ff. Такая реконструкция подтверждается и историческими свидетельствами о близости Гиппократа к пифагорейцам (42 А 5; Iam. Comm. math, sc., p. 78.1).

54 Gomperz. Griechische Denker, 139. См. также: Heiberg I. L. Naturwissenschaften und Mathematik im klassischen Altertum. Leipzig 1912, 10; Burnet, 69; Rey: Jeunesse, 191, 202 f; Reidemeister K. Das exakte Denken der Griechen. Leipzig 1949, 10; Cherniss. Characteristics, 336; Taran L. Parmenides. Princeton 1965, 4.

56 Убедительную критику тезиса Сабо см.: Knorr W. R. On the Early History of Axiomatics: The Interaction of Mathematics and Philosophy in Greek Antiquity, J. Hintikka, ed. Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo Methodology. V. I. Dordrecht 1981, 145 ff.

573айцев. Культурный переворот, 185.

58 Там же, 117 сл.

59 Reidemeister. Op.cit, 51 f; von Fritz. Grundprobleme, 419.

62 Morrison, Origin, 201 ff.

63 Gaud. Intr. harm. 11; Theon. Sm. Exp., p. 56.

64 Barbera C. A. The Persistence of Pythagorean Mathematics in Ancient Musical Thought. Chapel Hill 1982. Сабо полагает, что теория пропорций возникла при исследовании музыкальных интервалов: Szabo Α. La teoria pitagorica delle proporzioni, PdP (1971) 136-141.

65 Loria G. Le scienze esatte nell`antica Grecia. Milano 1914, 29; Marrou H. Histoire de Veducation dans Vantiquite. Paris 1965, 99, 267, 272.

67 Jaeger. Paideia I, 163, 456.

68 В «Гармонике» Аристоксена πραγματεία регулярно употребляется в значении «область знаний», «сфера исследования» (Harm. 1,1-2 Масгап).

69 Близость слов Аристоксена к приведенному выше пассажу из «Метафизики» отнюдь не умаляет ценности этого свидетельства (расе Frank, 260 п. 1; Burkert, 414 f). В вопросах, касающихся пифагорейцев, Аристоксен менее всего зависел от своего учителя. Поскольку он располагал информацией, идущей непосредственно из пифагорейских кругов, ему не нужно было переписывать из «Метафизики», подставляя «Пифагор» вместо «пифагорейцы». Такое предположение тем более неправдоподобно, что и сам Аристотель упоминал о математических занятиях Пифагора (fr. 191).

70 των δέ αριθμών άρτιοι μέν είσιν οί είς ϊσα διαιρούμενοι, περισσοί δέ οΐ εις άνισα χαΐ μέσον έχοντες. Такое же определение мы встречаем у Ямвлиха (In Nie. p. 12). См.: Knorr, 53. Верли без серьезных оснований отрицает принадлежность Аристоксену второй части фрагмента (fr. 23, com. ad loc).

71 Becker О. Die Lehre von Geraden und Ungeraden im IX. Buch der Euklidischen Elemente, Q&S В 3 (1934) 533-553. См. также: Reidemeister. Op.cit, 31 ff, 43; van der Waerden, 397.

72 Из современных работ авторство Евдема оспаривают: Lan С. Е. Eudemo у el 'catalogo de geometras' de Procio, Emerita 53 (1985) 127-157; Lasserre F. De Leodamas de Thasos ά Philippe d'Oponte. Napoli 1987, № 1 Τ la, № 20 F 15a. Лассер полагает, что автором каталога был Филипп Опунтский. Критику этой гипотезы см.: Gaiser К. Philodems Academica. Supplementum Platonicum 1. Stuttgart 1988, 89 ff.

73 См.: De Vogel. Philosophia, 88 ff.

74 Панпифагореизм, характерный для Ямвлиха, почти не заметен у Прокла: Mueller I. Iamblichus and Proclus' Euclid Commentary, Hermes 115 (1987) 334-348.

ät durch Pythagoras, Platon 29 (1977) 188. 76 Nicom. Intr. arith., 11,22; Iam. In Nie, p. 118.

77 Свидетельства см.: von Fritz. Discovery; Knorr, 50 f. Стаматис, тем не менее, относит это открытие к Пифагору (Stamatis. Op.cit). О том, почему Прокл сделал выбор в пользу Пифагора, см. ниже, IV,2.4.

78 Пифагорейская акусма о том, что самая совершенная фигура - круг, а самое совершенное тело - шар (D.L. VIII, 13), подразумевает знание, по крайней мере, нескольких многогранников. О пирамиде писал Демокрит (Archim. Be method., prooem. = fr. 125 Luria).

79 Burkert, 70 η. 113. Вместе с тем стоит отметить, что еще Спевсипп писал о пяти правильных многогранниках в книге «О пифагорейских числах» (fr. 28). Это связано, вероятно, с тем, что ученики Платона считали «Тимей», в котором упоминались эти тела, «пифагорейским» диалогом.

80 Heath. Mathematical, 252; Euclid I, 36; von Fritz. Discovery, 252.

82 Van der Waerden. Science, 95. 83См. ниже, IV,3.2.

84 Там же.

85 Fraenkel. Op.cit.

86 Heath. Mathematics I, 147 f; Euclid I, 353 f; Neuensch wander. Erste vier Bücher, 369; van der Waerden, 359. 87Reidemeister. Op.cit., 31 f; Knorr, 138; van der Waerden, 396 f.

89 Szabo. Beginnings, 247.

90 Ван дер Варден, хотя и не связывает с Пифагором учение о четном и нечетном, датирует его около 500 г. (van der Waerden, 392). Беккер высказывался более осторожно: первая половина V в. (Becker. Grundlagen, 38).

91 Зайцев. Культурный переворот, 186 сл.

92 Allman. Op.cit., 31 f; Heath. Mathematics I, 76; van der Waerden. Science, 98 f.

95 Heath. Mathematics I, 74; Becker. Lehre, 134 f; van der Waerden. Science, 97.

96 Burkert, 431 ff.

97 Becker. Lehre, 134 ff; Denken, 49 f; van der Waerden, 399 f.

98 Это отмечают, в частности: Michel Р.-Н. Les nombres figures dans Varithmetique pythagoricienne. Paris 1958, 5 f; Knorr, 132 ff.

100 Ван дер Варден полагает, что они были уже в раннепифагорейском математическом компендии (van der Waerden. Postulate, 357).

101 Прокл приводит пифагорейское определение точки (In Eucl., p. 95).

102 Abelson P. The Seven Liberal Arts. New York 1906, 2; Merlan P. From Platonism to Neoplatonism. The Hague I960, 88; Burkert, 420 ff (вторая половина Vb.).

103 Morrison. Origin, 203; Kuhnert Fr. Allgemeinbildung und Fachbildung in der Antike. Berlin 1961, 48.

родственности четырех μαθήματα см. также: Nicom. Intr. 1,2.4-5.

105 Франк пытался представить автором квадривиума самого Демокрита (Frank, 10 п. 23), но Буркерт справедливо отмечает, что систематической связи этих четырех наук у Демокрита нет (Burkert, 421 п. 118).

106 Thesleff. Texts, 6.12, 108.22, 165.10.

107 Lucian. Vit. auct. 2; Hippol. Philosoph. = Dox., p. 555.17; Theol. arith., p. 21.18.

108 Loria. Op.cit, 29; Jaeger. Paideia I, 162, 465 n. 65; Marrou. Op.cit., 99, 269, 272; M. Steck, Hrsg. Proclus Diadochus. Kommentar zum ersten Buch von Euclides 'Elementen'. Halle 1945, 211 n. 3, 212 n. 1; Kuhnert. Op.cit, 48, 116 f (ранние пифагорейцы); Barbera A. Republic 530C-531C: Another Look at Plato and the Pythagoreans, AJP 102 (1981) 401 ff (пифагорейцы V в.).

(De an. V,2) и Макробия (In Somn. Scip. 1,14.19).

110 Pappus. Commentary on Book X of Euclids Elements. G. Junge, W. Thomas, ed. Cabmridge 1930, 63 f.

111 Von Fritz. Discovery; Junge G. Von Hippasus bis Philolaos, C&M 19 (1958) 41; Heller S. Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreer, ADAW (1958) № 6, 6 f.

112 Его имя упоминается и в схолии к Х.1 Евклида, и у Паппа, но не находится в непосредственной близости с этими сообщениями. Буркерт, относящий данную версию к некоему платоническому источнику (Burkert, 458 f), тем не менее признает, что версия об открытии додекаэдра может восходить к Евдему (ibid., 460), хотя его имя также нигде прямо с ней не связано. Трудно предположить, однако, чтобы все эти легенды зародились вокруг одного лишь открытия додекаэдра. Еще менее вероятно, что Евдем, оставивший детальный отчет о том, кому принадлежит какая элементарная теорема, обошел молчанием столь важное событие в истории математики, как открытие иррациональности.

113 Традицию эту принимают, среди прочих: von Fritz. Discovery; Junge. Hippasos, 41; Becker. Denken, 71; Heller. Op.cit, 6 f; van der Waerden, 398 f.

über die Quadraturen des Antiphon und des Hippokrates. Leipzig 1907, 99 f; von Fritz, Discovery, 245; Heller. Op.cit., 7. Не совсем ясно, почему Буркерт полагает, что между двумя этими предложениями нет тесной связи, а следовательно, первое, в отличие от второго, не восходит к Евдему (Burkert, 458 n. 59). Связь здесь очевидна: открытие Гиппасом иррациональности (у Ямвлиха «разглашение») действительно дало толчок исследованиям Феодора и Гиппократа.

115 Отметим, что это не единственный случай умолчания: Демокрит, судя по всему, должен был упоминаться Евдемом, но отсутствует у Прокла.

116 Burkert, 461 f.

117 Намек на двойной смысл слова αρρετος заметен и у Плутарха (Numa. 22).

118 См.: Szabo Α. Theaitetos und das Problem der Irrationalität, AAAHung 14 (1966) 304; Burkert, 461 f; Knorr, 51 n. 6.

άλογοι γραμμοί, так что терминология была еще не прочно установившейся.

120За исключением Плутарха (Numa, 22), все поздние источники, передающие эту легенду, используют либо ασύμμετρος, либо άλογος. Напротив, у авторов Pseudopythagorica άρρητος встречается довольно часто; см. индекс в собрании Теслефа (Thesleff. Texts, 254).

121 Аристотель кратко замечает, что если бы сторона и диагональ квадрата были соизмеримы, то одно и то же число было бы и четным, и нечетным (An. pr. 41 а 26 f).

122 Becker. Denken, 50 f.

123 Von Fritz. Discovery, 294 ff.

125 Knorr, 26 f.

126 Hasse Η., Scholz Η. Die Grundlagenkrisis der griechischen Mathematik. Berlin 1928.

127 Reidemeister. Op.cit, 30 f; Burkert, 462 n. 75; Knorr, 40 f, 305 f.

128 Heath. Euclid I, 414; van der Waerden. Science, 129 f.

130 Neuenschwander. Erste vier Bücher, 374.

131 Ibid., 374 f.

132 Heath. Euclid I, 370 f, 414; II, 97 f; Neuenschwander. Erste vier Bücher, 369 f, 378; van der Waerden. Postulate, 343; Artmann B. Uber voreuklidische demente', deren Autor Proportionen vermied, AHES S3 (1985) 291-305.

133 Heath. Euclid I, 343 f; Becker. Denken, 60 f.

ücher, 357 f. 135Ibid., 371 f.

136 Neuenschwander E. Die stereometrischen Bücher der Elemente Euklids, AHES 14 (1974) 103, 120. Отметим, правда, что пример, приводимый Нойен-швандером, мало убедителен: он цитирует Филолая (44 А 24), писавшего, что в кубе 12 ребер, 8 углов и 6 плоскостей, составляющих гармоническую пропорцию (12:8 щ 8:6). Но Филолай математиком не был, и от него следовало ожидать проявления именно такого поверхностного интереса к неожиданным совпадениям. Насколько это характеризует предшествующих ему пифагорейских математиков?

137Sachs. Op.cit, 82 f.

138 Waterhaus W. С. The Discovery of the Regular Solids, AHES 9 (1972) 212 ff; Neuenschwander. Stereometrische Bücher, 104.

139 Heath. Euclid 11, 294.

141 О его «эпантеме» см.: Becker. Denken, 43 f.

142 Knorr, 58 п. 71, 92, 311.

143 Как отмечает Кнорр, подавляющее большинство математических примеров у Платона взято из арифметики (Knorr, 90).

144 Tannery P. Un traite grec d'arithmetique anterieur a Euclide, Memoires seientifiques. V. III. Paris/Toulouse 1912, 244-250; Heath. Mathematics I, 90, Euclid II, 295; Becker. Denken, 44 f; van der Waerden, 392 ff, 411 ff; Science, 147.

Waerden, 392 ff.

146 Becker. Denken, 44 f.

147 См. выше, IV,2.3.

148 Van der Waerden, 411 ff.

149 Cp.: Theon Sm. Exp., p. 42 f. Сам Прокл приписывает данный метод пифагорейцам (In Rem publ. II, р. 24). Как полагал Гульч (Procl. In Rem. publ. II, p. 393 f), он опирался здесь на математическую энциклопедию Гемина.

«рациональных» и «иррациональных» диаметрах упоминал Платон (Res. 546с) См. также: Heath. Mathematics I, 96; Becker. Denken, 67 f, 73 f; Knorr, 33 f; van der Waerden, 402 f.

151 Heath. Euclid I, 398 ff; Neuenschwander. Erste Bücher, 349, 371.

152 Имя одного из них доносит Евдем - это Мамерк, брат поэта Стесихора (fr. 133). Увы, кроме имени, о нем ничего более не известно.