Приглашаем посетить сайт
Конструктивная логика
КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА (от лат. constructio - построение) - совокупность логических принципов, признаваемых приемлемыми представителями конструктивизма в математике. Предметом конструктивизма являются конструктивные объекты и конструктивные процессы (описываемые алгоритмами), при рассмотрении которых применяется абстракция потенциальной, но не актуальной бесконечности, что накладывает определенные ограничения на понимание логических связок и кванторов.
Напр., дизъюнкция высказываний «А или В» считается обоснованной, если потенциально осуществим конструктивный процесс, позволяющий выбрать верный дизъюнктивный член этой дизъюнкции. Близко к пониманию дизъюнкции истолкование квантора существования: утверждение «Существует такой х, для которого справедливо условие А» считается обоснованным, если потенциально осуществим конструктивный процесс подбора конструктивного объекта х, подтверждающего условие А. Обоснование конъюнкции «А и В» состоит в обосновании обоих конъюнктивных членов, а утверждение «Для всякого х справедливо условие А» считается обоснованным, если мы в состоянии для всякого объекта рассматриваемого вида доказать, что он удовлетворяет условию А. Обоснование импликации «если А, то В» состоит в предъявлении алгоритма, по обоснованию утверждения А строящего обоснование В. Отрицание утверждения А обосновывается предъявлением алгоритма, приводящего к противоречию всякую попытку обоснования А.
Только что указанное конструктивное истолкование логических связок и кванторов допускает различные уточнения. Отличие К.л. от классической логики проявляется в том, что в К. л. отсутствуют практически все варианты форм рассуждений «от противного» ->-ip -> р, (-ip -iq) -> (q - р) и др.; отсутствуют также варианты закона исключенного третьего - р v -ip, -ip v - i- ip. В К. л. связки не выражаются друг через друга, нет классической взаимовыразимости кванторов всеобщности и существования. Не признаются доказательства так называемых чистых теорем существования, которые на самом деле имеют вид -i-i3xA(x), а не ЭхА(х); они не дают конкретного х, подтверждающего справедливость А. Многими представителями конструктивизма (в отличие от приверженцев интуиционизма) принимается принцип конструктивного подбора (или принцип Маркова): Vx(A(x) v -A(x)) & -i-i3xA(x) -> ЗхА(х). Построены погружения классических логических систем в конструктивные, что позволяет рассматривать последние как конструктивные уточнения классически установленных фактов.
Отличительной чертой многих систем К. л. и построенных на их основе теорий являются свойство дизъюнкции - если выводима некоторая дизъюнкция: то выводим и некоторый ее дизъюнктивный член; и близкое к нему экзистенциальное свойство: из доказательства существования конструктивного объекта с требуемыми свойствами можно извлечь конструкцию его построения. Среди семантических построений, отражающих конструктивное понимание логических связок, формуЛит.д., наиболее известными являются рекурсивная реализуемость по С.К. Клини и ее варианты, а также разработанная Н.А. Шаниным мажорантная семантика арифметических формул и ступенчатая система А.А. Маркова построения логических языков с одновременным определением их семантики.
А.В. Чагров
Лит.: Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М., 1977; Справочная книга по математической логике. Ч. I V. Теория доказательств и конструктивная математика. М., 1983; Марков А.А., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М., 1984.