Приглашаем посетить сайт
Исключенного третьего закон
ИСКЛЮЧЕННОГО ТРЕТЬЕГО ЗАКОН - один из трех главных законов логики, сформулированных Аристотелем. Его оригинальная формулировка гласит: «Оба утверждения А и не-А не могут быть одновременно ложны».
В «Метафизике» Аристотеля встречается (не как закон, а как способ рассуждения) и другая формулировка И. т. з. («Сильный» И. т. з.), в настоящее время применяемая чаще всего: «Одно из утверждений А или не-А должно быть истинным». Эта формулировка получила в схоластической логике название tertium поп datur. Сам Аристотель показал, что область применимости И. т. з. значительно уже, рассмотрев пример высказывания: «Завтра будет морское сражение», которое сегодня не истинно и не ложно.
На языке математической логики сильный И. т. з. формулируется как Av-iA. Последняя формулировка часто подменяет И. т. з. в современных математизированных работах и называется математическим И. т. з. Но математический И. т. з. не эквивалентен ни сильному И. т. з., ни аристотелеву. В частности, в алгебраической интерпретации со значениями в булевой алгебре выполнены все законы классической логики, но ни А, ни \исключенного третьего законА могут быть не истинны. Сильный И. т. з. математически означает полноту используемой теории, что практически никогда не достижимо.
Аристотелев И. т. з. выполнен для интуиционистской логики, а математический И.т.з. носит в ней статус весьма нежелательного утверждения. Одним из способов показать конструктивную неприемлемость утверждения А является доказательство сильного И. т. з., исходя из А. Впервые такой метод явно сформулировал В. Крейнович.
Сильный И. т. з. оказался тем критическим местом, вокруг которого развивались дискуссии в течение всего времени существования логики как науки. Стоики и эпикурейцы рассматривали логики, несовместимые с И. т. з. (как правило, не замечая разницы сильного и аристотелева И. т. з.). Интуиционизм начинался с утверждения о недостоверности сильного И. т. з., но он опровергает его достаточно тонко, сохраняя слабый И. т. з., придавая ему точную математическую формулировку: -i-i(Av-A), которую можно назвать брауэровым И. т.з., и не вводя дополнительных логических значений. Многозначные логики в значительной степени появились как результат простейшей формулировки отрицания сильного И. т. з. (могу быть не два значения, а несколько.)
В целом критику И. т. з. можно подытожить следующим образом. Он пригоден для рассмотрения терминов в фиксированной обстановке с фиксированной точки зрения. Он не подходит для меняющейся обстановки и субъективных понятий. Он не допустим даже для терминов, если нас интересует не просто доказательство, а построение.
Тем не менее во всех перечисленных случаях порою его использование корректно и весьма эффективно, но требует дополнительных обоснований. Так, напр., в элементарной классической геометрии сильный И. т. з. не влечет разрушения конструктивности доказательств.
В современной логике вызывают интерес формулировки, которые влекут (при сохранении других логических правил) И. т. з., как правило, рассматриваемый в форме tertium поп datur. Л. Брауэр, в частности, установил, что закон снятия двойного отрицания -i-A->A влечет в интуиционистской логике tertium поп datur. На самом деле при этом применяется также правило приведения к абсурду ( A - > B ) & ( A - > - i B ) - > - i A. Если, наоборот, отбросить правило приведения к абсурду и принять закон двойного отрицания, то получается понятие сильного, или конструктивного, отрицания. Уже этот пример показывает громадную эвристическую роль исследований И. т. з. в современной логике.
Н.Н. Непейвода